Parámetros para continuidad y derivabilidad

Para que la función sea continua en $x=0$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en dicho punto: 1. **Valor de la función:** $$f(0) = a + b \operatorname{sen}(0) = a + b \cdot 0 = a.$$ 2. **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} e^{ax} = e^{a \cdot 0} = e^0 = 1.$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 0^+$):** $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (a + b \operatorname{sen} x) = a + b \operatorname{sen}(0) = a.$$ Para que sea continua, se debe cumplir que $1 = a$. 💡 **Tip:** Una función es continua en $x=c$ si $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{a = 1}$$

Una vez impuesta la condición de continuidad ($a=1$), estudiamos la derivabilidad. Primero calculamos la derivada de la función en las ramas abiertas (donde $x \neq 0$): Si $x < 0$, la derivada de $e^{ax}$ es $a e^{ax}$. Si $x > 0$, la derivada de $a + b \operatorname{sen} x$ es $b \cos x$. La función derivada queda definida como: $$f'(x) = \begin{cases} a e^{ax} & \text{si } x < 0 \\ b \cos x & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{u(x)}$ es $u'(x) e^{u(x)}$ y la derivada de $\operatorname{sen}(x)$ es $\cos(x)$.

Para que la función sea derivable en $x=0$, las derivadas laterales deben ser iguales. Como ya sabemos que la función es continua si $a=1$, evaluamos los límites de la derivada: 1. **Derivada por la izquierda ($f'(0^-)$):** $$\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} a e^{ax} = a \cdot e^0 = a.$$ 2. **Derivada por la derecha ($f'(0^+)$):** $$\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} b \cos x = b \cos(0) = b \cdot 1 = b.$$ Para que sea derivable, debe cumplirse que $a = b$. Como ya habíamos obtenido que **$a = 1$**, entonces: $$1 = b \implies b = 1.$$ 💡 **Tip:** Para que una función definida a trozos sea derivable en un punto de salto entre ramas, primero debe ser continua en dicho punto.

Para que la función $f(x)$ sea continua y derivable en $x=0$, los parámetros deben tomar los valores calculados. Sustituyendo los valores en la función original, esta quedaría como: $$f(x) = \begin{cases} e^{x} & \text{si } x < 0 \\ 1 + \operatorname{sen} x & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 1, \quad b = 1}$$