Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) [1 p.] Justifique que el sistema nunca es compatible determinado.** Para analizar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 4a \\ 0 & 1 & 1 & -4 \\ 1 & 0 & 2 & a^2 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (1\cdot 1\cdot 2) + (-1\cdot 1\cdot 1) + (1\cdot 0\cdot 0) - (1\cdot 1\cdot 1) - (0\cdot -1\cdot 2) - (1\cdot 0\cdot 1)$$ $$|A| = 2 - 1 + 0 - 1 - 0 - 0 = 0$$ 💡 **Tip:** Según el Teorema de Rouché-Frobenius, para que un sistema sea compatible determinado (solución única), el rango de la matriz de coeficientes debe ser igual al número de incógnitas ($n=3$ en este caso). Para ello, el determinante de $A$ debería ser distinto de cero.

Como hemos calculado que $|A| = 0$, el rango de la matriz $A$ es menor que el número de incógnitas ($rg(A) < 3$). Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero para determinar el rango exacto de $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1 \neq 0$$ Esto implica que $rg(A) = 2$ para cualquier valor de $a$. Dado que $rg(A) < n$ (siendo $n=3$ el número de incógnitas $x, y, z$), el sistema **nunca podrá ser compatible determinado**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Como } |A|=0, \text{ el } rg(A) \le 2 < 3, \text{ por lo que el sistema nunca es compatible determinado.}}$$

**b) [1,5 p.] Determine para qué valor del parámetro $a$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.** Para que el sistema tenga infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado), se debe cumplir que $rg(A) = rg(A^*) < 3$. Ya sabemos que $rg(A) = 2$, por lo que necesitamos que $rg(A^*) = 2$. Esto ocurre si todos los menores de orden 3 de la matriz ampliada son cero. Tomamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4 (sustituyendo la columna 3 por la de términos independientes): $$|A_{1,2,4}^*| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 4a \\ 0 & 1 & -4 \\ 1 & 0 & a^2 \end{vmatrix} = (1\cdot 1\cdot a^2) + (-1\cdot -4\cdot 1) + (4a\cdot 0\cdot 0) - (1\cdot 1\cdot 4a) - (0\cdot -1\cdot a^2) - (-4\cdot 0\cdot 1)$$ $$|A_{1,2,4}^*| = a^2 + 4 - 4a = a^2 - 4a + 4$$ Igualamos a cero para que el rango no sea 3: $$a^2 - 4a + 4 = 0 \implies (a-2)^2 = 0 \implies a = 2$$ 💡 **Tip:** Si $a=2$, todas las columnas de $A^*$ dependen linealmente de las dos primeras (que son independientes), por lo que $rg(A^*) = 2$.

Sustituimos $a = 2$ en el sistema original: $$\begin{cases} x - y + z = 8 \\ y + z = -4 \\ x + 2z = 4 \end{cases}$$ Como el rango es 2, una ecuación es redundante. Usamos las dos últimas por ser más sencillas y tomamos $z = \lambda$ como parámetro: 1. De la segunda ecuación: $y + \lambda = -4 \implies y = -4 - \lambda$ 2. De la tercera ecuación: $x + 2\lambda = 4 \implies x = 4 - 2\lambda$ Comprobamos en la primera ecuación: $$x - y + z = (4 - 2\lambda) - (-4 - \lambda) + \lambda = 4 - 2\lambda + 4 + \lambda + \lambda = 8$$ La ecuación se cumple, validando la solución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 2; \quad \begin{cases} x = 4 - 2\lambda \\ y = -4 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$