Probabilidad de fallo en máquina: modo automático vs manual

En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema basándonos en el enunciado: * $A$: La máquina funciona en modo **automático**. * $M$: La máquina funciona en modo **manual**. * $F$: La máquina tiene un **fallo**. * $\bar{F}$: La máquina **no tiene fallos**. Extraemos las probabilidades dadas: * $P(A) = 0,70$ * $P(M) = 1 - 0,70 = 0,30$ (ya que el resto de días funciona en modo manual). * $P(F|A) = 0,15$ (probabilidad de fallo condicionada a modo automático). * $P(F|M) = 0,05$ (probabilidad de fallo condicionada a modo manual). También podemos deducir las probabilidades complementarias (no tener fallo): * $P(\bar{F}|A) = 1 - 0,15 = 0,85$ * $P(\bar{F}|M) = 1 - 0,05 = 0,95$

Para visualizar mejor las probabilidades compuestas, organizamos la información en un diagrama de árbol:

**a) [0,75 p.] Calcule la probabilidad de que no tenga ningún fallo.** Para calcular la probabilidad de que no haya fallos, $P(\bar{F})$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de no tener fallos en ambos modos de funcionamiento: $$P(\bar{F}) = P(A) \cdot P(\bar{F}|A) + P(M) \cdot P(\bar{F}|M)$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(\bar{F}) = (0,70 \cdot 0,85) + (0,30 \cdot 0,95)$$ $$P(\bar{F}) = 0,595 + 0,285 = 0,88$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas finales de un árbol siempre debe ser 1 ($0,105 + 0,595 + 0,015 + 0,285 = 1$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{F}) = 0,88}$$ (La probabilidad de que no tenga ningún fallo es del 88%).

**b) [0,75 p.] Si un día tiene un fallo, ¿cuál es la probabilidad de que haya funcionado en modo manual?** En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori, es decir, sabiendo que ha ocurrido un fallo, cuál es la probabilidad de que el origen fuera el modo manual. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(M|F) = \frac{P(M \cap F)}{P(F)} = \frac{P(M) \cdot P(F|M)}{P(F)}$$ Primero necesitamos calcular $P(F)$. Podemos hacerlo como el complementario de $P(\bar{F})$ calculado en el apartado anterior: $$P(F) = 1 - P(\bar{F}) = 1 - 0,88 = 0,12$$ Ahora aplicamos la fórmula: $$P(M|F) = \frac{0,30 \cdot 0,05}{0,12} = \frac{0,015}{0,12}$$ $$P(M|F) = 0,125$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes relaciona la probabilidad de una causa (modo manual) dado un efecto (fallo). Se calcula como la probabilidad de esa rama específica dividida por la probabilidad total del efecto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|F) = 0,125}$$ (La probabilidad es del 12,5%).