Posición relativa, punto de corte y ángulo entre recta y plano

**a) [1,25 p.] Estudie la posición relativa del plano $\pi$ y de la recta $r$ dada por $r: \begin{cases} x+3y+3z = 0 \\ y+2z = 1 \end{cases}$** Para estudiar la posición relativa, primero extraemos los elementos característicos de la recta $r$ y del plano $\pi$. El plano $\pi: 3x - 2y + z = 3$ tiene como vector normal: $$\vec{n}_\pi = (3, -2, 1)$$ La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Su vector director $\vec{v}_r$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos, $\vec{n}_1 = (1, 3, 3)$ y $\vec{n}_2 = (0, 1, 2)$: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_r = \mathbf{i}(3 \cdot 2 - 3 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 2 - 3 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$$ $$\vec{v}_r = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (3, -2, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por dos planos es perpendicular a ambos vectores normales, por eso usamos el producto vectorial.

Comparamos el vector director de la recta $\vec{v}_r = (3, -2, 1)$ y el vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (3, -2, 1)$. Calculamos su producto escalar para ver si son perpendiculares (lo que indicaría que la recta es paralela al plano o está contenida en él): $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (3, -2, 1) \cdot (3, -2, 1) = 3(3) + (-2)(-2) + 1(1) = 9 + 4 + 1 = 14$$ Como $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi \neq 0$, el vector director de la recta no es perpendicular al vector normal del plano. Por tanto, **la recta y el plano se cortan en un punto**. Además, observamos que $\vec{v}_r = \vec{n}_\pi$, lo que significa que el vector director de la recta es paralelo al vector normal del plano. Esto implica que la recta es perpendicular al plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ y el plano } \pi \text{ son secantes (se cortan en un punto)}}$$

**b) [1,25 p.] En caso de que la recta $r$ sea paralela al plano $\pi$, calcule la distancia entre ambos. En caso de que la recta $r$ corte al plano $\pi$, calcule el punto de corte y el ángulo de corte entre ambos.** Como hemos determinado que se cortan, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de la recta y el plano: $$\begin{cases} 3x - 2y + z = 3 & \text{(Plano } \pi\text{)} \\ x + 3y + 3z = 0 & \text{(Recta } r_1\text{)} \\ y + 2z = 1 & \text{(Recta } r_2\text{)} \end{cases}$$ De la tercera ecuación despejamos $y$: $$y = 1 - 2z$$ Sustituimos en la segunda ecuación para hallar $x$ en función de $z$: $$x + 3(1 - 2z) + 3z = 0 \implies x + 3 - 6z + 3z = 0 \implies x = 3z - 3$$ Ahora sustituimos $x$ e $y$ en la ecuación del plano $\pi$: $$3(3z - 3) - 2(1 - 2z) + z = 3$$ $$9z - 9 - 2 + 4z + z = 3$$ $$14z - 11 = 3 \implies 14z = 14 \implies z = 1$$ Calculamos las coordenadas restantes: $$x = 3(1) - 3 = 0$$ $$y = 1 - 2(1) = -1$$ 💡 **Tip:** Para hallar el punto de corte entre recta y plano, lo más sencillo es sustituir las coordenadas paramétricas de la recta en la ecuación implícita del plano. ✅ **Resultado (Punto de corte):** $$\boxed{P(0, -1, 1)}$$

El ángulo $\alpha$ entre una recta y un plano se calcula mediante la fórmula del seno, utilizando el vector director de la recta $\vec{v}_r$ y el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$: $$\sin \alpha = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi|}{\|\vec{v}_r\| \cdot \|\vec{n}_\pi\|}$$ Ya sabemos que $\vec{v}_r = (3, -2, 1)$ y $\vec{n}_\pi = (3, -2, 1)$. Por tanto: $$|\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi| = |14| = 14$$ $$\|\vec{v}_r\| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$$ $$\|\vec{n}_\pi\| = \sqrt{14}$$ Sustituimos: $$\sin \alpha = \frac{14}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{14}{14} = 1$$ Si $\sin \alpha = 1$, entonces $\alpha = 90^\circ$ (o $\pi/2$ radianes). 💡 **Tip:** Recuerda que para el ángulo entre dos planos o dos rectas usamos el coseno, pero para el ángulo entre recta y plano usamos el seno. ✅ **Resultado (Ángulo):** $$\boxed{\alpha = 90^\circ}$$