Integral indefinida y cálculo de áreas

**a) [1 p.] Calcule la siguiente integral indefinida $\int \frac{x}{\sqrt{2x^2+1}} dx$.** Observamos que la integral tiene la forma de una integral casi inmediata del tipo potencia, ya que el numerador $x$ es, salvo constantes, la derivada de lo que está dentro de la raíz en el denominador ($2x^2+1$). Expresamos la raíz como una potencia de exponente negativo: $$\int \frac{x}{\sqrt{2x^2+1}} dx = \int x \cdot (2x^2+1)^{-1/2} dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int f'(x) \cdot [f(x)]^n dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C$. En este caso, $f(x) = 2x^2+1$, por lo que su derivada es $f'(x) = 4x$.

Para tener la derivada exacta $f'(x)=4x$ dentro de la integral, multiplicamos y dividimos por $4$: $$\int x \cdot (2x^2+1)^{-1/2} dx = \frac{1}{4} \int 4x \cdot (2x^2+1)^{-1/2} dx$$ Ahora aplicamos la regla de la cadena para integrales de potencias: $$\frac{1}{4} \cdot \frac{(2x^2+1)^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = \frac{1}{4} \cdot \frac{(2x^2+1)^{1/2}}{1/2} + C$$ Simplificamos los coeficientes: $$\frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \sqrt{2x^2+1} + C = \frac{1}{2}\sqrt{2x^2+1} + C$$ ✅ **Resultado de la integral:** $$\boxed{\frac{1}{2}\sqrt{2x^2+1} + C}$$

**b) [0,5 p.] Determine el área del recinto limitado por el eje OX, las rectas verticales $x = 0$ y $x = 2$, y la gráfica de la función $f(x) = \frac{x}{\sqrt{2x^2+1}}$.** El área viene dada por la integral definida de la función entre los límites $x=0$ y $x=2$: $$Area = \int_{0}^{2} |f(x)| dx$$ Primero comprobamos si la función $f(x) = \frac{x}{\sqrt{2x^2+1}}$ cambia de signo en el intervalo $[0, 2]$: - El denominador $\sqrt{2x^2+1}$ siempre es positivo. - El numerador $x$ es positivo o cero en el intervalo $[0, 2]$. Como $f(x) \ge 0$ para todo $x \in [0, 2]$, el área es simplemente la integral definida: $$Area = \int_{0}^{2} \frac{x}{\sqrt{2x^2+1}} dx$$ 💡 **Tip:** Si la función cambiara de signo en el intervalo, deberíamos dividir la integral en varios trozos usando los puntos de corte con el eje OX.

Utilizamos la primitiva hallada en el apartado anterior, $F(x) = \frac{1}{2}\sqrt{2x^2+1}$, y aplicamos la Regla de Barrow: $$Area = \left[ \frac{1}{2}\sqrt{2x^2+1} \right]_{0}^{2} = F(2) - F(0)$$ Calculamos los valores: - Para $x = 2$: $F(2) = \frac{1}{2}\sqrt{2(2)^2+1} = \frac{1}{2}\sqrt{9} = \frac{3}{2}$ - Para $x = 0$: $F(0) = \frac{1}{2}\sqrt{2(0)^2+1} = \frac{1}{2}\sqrt{1} = \frac{1}{2}$ Restamos ambos resultados: $$Area = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ ✅ **Resultado del área:** $$\boxed{Area = 1 \text{ u}^2}$$