Optimización: Suma de un número y el logaritmo de otro

**a) [1,5 p.] Descomponga el número 10 en dos sumandos positivos de manera que la suma de uno de ellos más el doble del logaritmo (neperiano) del otro sea máxima.** Sean $x$ e $y$ los dos sumandos positivos. Según el enunciado, se debe cumplir que: $$x + y = 10 \quad \text{con } x > 0, y > 0$$ Queremos maximizar la función suma $S$, que definimos como la suma de uno de ellos más el doble del logaritmo del otro. Elegimos $y$ como el número dentro del logaritmo por comodidad: $$S = x + 2\ln(y)$$ Como tenemos dos variables, utilizamos la relación $x + y = 10$ para expresar $x$ en función de $y$: $$x = 10 - y$$ Sustituyendo en la función a maximizar, obtenemos una función que depende solo de $y$: $$f(y) = (10 - y) + 2\ln(y)$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el primer paso siempre es identificar la función objetivo y la restricción para reducir el problema a una sola variable.

La función a optimizar es $f(y) = 10 - y + 2\ln(y)$. Dado que los sumandos deben ser positivos, se tiene que $y > 0$ y $x > 0$. Como $x = 10 - y$, entonces $10 - y > 0 \implies y < 10$. Por tanto, el dominio de nuestra función es: $$\text{Dom}(f) = (0, 10)$$ Calculamos la primera derivada para hallar los puntos críticos: $$f'(y) = \frac{d}{dy}(10 - y + 2\ln(y)) = 0 - 1 + 2 \cdot \frac{1}{y} = -1 + \frac{2}{y}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los valores extremos: $$-1 + \frac{2}{y} = 0 \implies \frac{2}{y} = 1 \implies y = 2$$ Como $y = 2$ pertenece al dominio $(0, 10)$, es un posible extremo relativo. $$\boxed{y = 2}$$

Para confirmar que en $y = 2$ existe un máximo, estudiamos el signo de la primera derivada $f'(y) = -1 + \frac{2}{y}$ en el dominio $(0, 10)$: $$\begin{array}{c|ccc} y & (0,2) & 2 & (2,10) \\ \hline f'(y) & + & 0 & - \\ f(y) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - Si $y \in (0, 2)$, por ejemplo $y=1$: $f'(1) = -1 + 2 = 1 > 0$ (la función crece). - Si $y \in (2, 10)$, por ejemplo $y=5$: $f'(5) = -1 + 0.4 = -0.6 < 0$ (la función decrece). También podemos usar la **segunda derivada**: $$f''(y) = \frac{d}{dy}\left(-1 + \frac{2}{y}\right) = -\frac{2}{y^2}$$ Evaluando en el punto crítico: $$f''(2) = -\frac{2}{2^2} = -\frac{1}{2} < 0$$ Al ser la segunda derivada negativa, confirmamos que en $y = 2$ hay un **máximo relativo**. 💡 **Tip:** Recuerda que si $f''(a) < 0$, entonces la función presenta un máximo relativo en $x=a$.

Una vez hallado el valor de $y$ que maximiza la suma, calculamos el valor del otro sumando $x$: $$x = 10 - y = 10 - 2 = 8$$ Ambos sumandos son positivos ($8 > 0$ y $2 > 0$), por lo que cumplen las condiciones del enunciado. ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{x = 8, \quad y = 2}$$

**b) [0,5 p.] Calcule dicha suma máxima.** Sustituimos los valores obtenidos ($x=8, y=2$) en la función suma original: $$S_{\text{máx}} = x + 2\ln(y)$$ $$S_{\text{máx}} = 8 + 2\ln(2)$$ Si queremos una aproximación decimal: $$S_{\text{máx}} \approx 8 + 2(0.6931) = 8 + 1.3862 = 9.3862$$ Sin embargo, en matemáticas de Bachillerato es preferible dejar el resultado indicado con el logaritmo para que sea exacto. ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{S = 8 + 2\ln(2)}$$