Cálculo de potencias sucesivas y expresión general de una matriz

**a) [1,5 p.] Calcule las potencias sucesivas $A^2, A^3$ y $A^4$.** Para calcular $A^2$, multiplicamos la matriz $A$ por sí misma: $A^2 = A \cdot A$. $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - $a_{11} = 1\cdot 1 + 0\cdot 0 + 2\cdot 0 = 1$ - $a_{12} = 1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 2\cdot 0 = 0$ - $a_{13} = 1\cdot 2 + 0\cdot 0 + 2\cdot 1 = 2 + 2 = 4$ - $a_{22} = 0\cdot 0 + 1\cdot 1 + 0\cdot 0 = 1$ - $a_{33} = 0\cdot 2 + 0\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1$ (El resto de elementos resultan ser 0 al operar con las filas y columnas correspondientes). 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, multiplicamos los elementos de la fila $i$ de la primera matriz por los elementos de la columna $j$ de la segunda y sumamos los resultados para obtener el elemento $(i,j)$. $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $A^3$, multiplicamos el resultado anterior $A^2$ por la matriz original $A$: $$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 + 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ De la misma forma, para $A^4$: $$A^4 = A^3 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 + 6 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultados del apartado a:** $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) [1 p.] ¿Cuál será la expresión general de la potencia $A^n$ para cualquier valor de $n \in \mathbb{N}$?** Analizamos los resultados obtenidos para identificar un patrón en la estructura de la matriz: - $A^1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ - $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ - $A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ - $A^4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \cdot 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ Observamos que: 1. La diagonal principal siempre está formada por unos. 2. Los demás elementos son cero, excepto el elemento de la **primera fila, tercera columna ($a_{13}$)**. 3. El valor de dicho elemento es siempre el doble del exponente $n$ al que está elevada la matriz. Por inducción, podemos afirmar que para cualquier $n \in \mathbb{N}$: $$\boxed{A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2n \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** En este tipo de ejercicios, busca siempre qué elementos permanecen constantes y qué relación aritmética (suma, producto, potencia) guarda el elemento variable con el exponente $n$.