Distribución normal y binomial: Estudiantes de humanidades

**a) ¿cuál es la probabilidad de que en un año cualquiera más del 45% de los estudiantes de la población considerada estudien un grado de humanidades? (5 puntos)** Definimos la variable aleatoria $X$ como la proporción de estudiantes que eligen humanidades. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(0.35, 0.1)$$ Queremos calcular la probabilidad de que la proporción sea mayor al 45%, es decir, $P(X \gt 0.45)$. Para resolverlo, tipificamos la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$: $$P(X \gt 0.45) = P\left( Z \gt \frac{0.45 - 0.35}{0.1} \right) = P\left( Z \gt \frac{0.1}{0.1} \right) = P(Z \gt 1)$$ 💡 **Tip:** Tipificar nos permite usar las tablas de la normal estándar $N(0,1)$ restando la media y dividiendo por la desviación típica.

Como las tablas de la normal estándar suelen ofrecer la probabilidad acumulada hasta un valor ($p(Z \le z)$), aplicamos la propiedad del complementario: $$P(Z \gt 1) = 1 - p(Z \le 1)$$ Buscamos en la tabla el valor para $z = 1.00$: $$p(Z \le 1) = 0.8413$$ Sustituimos: $$P(X \gt 0.45) = 1 - 0.8413 = 0.1587$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{P(X \gt 0.45) = 0.1587 \text{ (o } 15.87\%\text{)}}$$

**b) En los últimos 10 años, ¿en cuántos años el porcentaje de estudiantes de la población considerada que han elegido estudiar un grado de humanidades no ha superado el 30%? (5 puntos)** Primero, calculamos la probabilidad de que en un año concreto la proporción sea menor o igual al 30% ($X \le 0.30$): $$P(X \le 0.30) = P\left( Z \le \frac{0.30 - 0.35}{0.1} \right) = P\left( Z \le \frac{-0.05}{0.1} \right) = P(Z \le -0.5)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \le -0.5) = P(Z \ge 0.5) = 1 - p(Z \le 0.5)$$ Buscamos en la tabla $p(Z \le 0.5) = 0.6915$: $$p = 1 - 0.6915 = 0.3085$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(Z \le -a) = 1 - P(Z \le a)$ debido a que la distribución normal es simétrica respecto al eje vertical.

Para calcular en cuántos años de un total de $n = 10$ ocurre este suceso, estamos ante una **distribución Binomial** $Y \sim B(n, p)$, donde: - $n = 10$ años. - $p = 0.3085$ (probabilidad de éxito en un año). La pregunta "¿en cuántos años...?" hace referencia a la esperanza matemática o valor esperado $E[Y]$ de la distribución binomial: $$E[Y] = n \cdot p$$ Calculamos: $$E[Y] = 10 \cdot 0.3085 = 3.085$$ En un contexto real, esto se traduce en que se espera que ocurra en aproximadamente 3 años de los 10 considerados. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{3.085 \text{ años (aproximadamente 3 años)}}$$