Área del triángulo formado por el plano mediador

Para hallar el plano perpendicular al segmento en su punto medio (también llamado plano mediador), primero debemos determinar las coordenadas de dicho punto medio $M$. Dados $P(0, 3, 8)$ y $Q(2, 1, 6)$, el punto medio $M$ se calcula como la media aritmética de sus coordenadas: $$M = \left( \frac{x_P + x_Q}{2}, \frac{y_P + y_Q}{2}, \frac{z_P + z_Q}{2} \right)$$ $$M = \left( \frac{0+2}{2}, \frac{3+1}{2}, \frac{8+6}{2} \right) = (1, 2, 7)$$ 💡 **Tip:** El punto medio $M$ es el punto que divide al segmento en dos partes iguales y siempre pertenece al plano mediador. $$\boxed{M(1, 2, 7)}$$

Puesto que el plano es perpendicular al segmento $PQ$, el vector que une ambos puntos, $\vec{PQ}$, será el vector normal del plano, $\vec{n}$. Calculamos el vector $\vec{PQ}$: $$\vec{n} = \vec{PQ} = Q - P = (2 - 0, 1 - 3, 6 - 8) = (2, -2, -2)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar cualquier vector proporcional. Dividimos entre 2 para obtener un vector normal más sencillo: $$\vec{n}' = (1, -1, -1)$$ 💡 **Tip:** En la ecuación de un plano $Ax + By + Cz + D = 0$, los coeficientes $(A, B, C)$ corresponden a las componentes de su vector normal. $$\boxed{\vec{n} = (1, -1, -1)}$$

Utilizamos la ecuación general del plano $\pi: Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las componentes del vector normal $\vec{n}'(1, -1, -1)$: $$1 \cdot x - 1 \cdot y - 1 \cdot z + D = 0 \implies x - y - z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto medio $M(1, 2, 7)$: $$1 - 2 - 7 + D = 0$$ $$-8 + D = 0 \implies D = 8$$ Por tanto, la ecuación del plano es: $$\pi: x - y - z + 8 = 0$$ $$\boxed{x - y - z + 8 = 0}$$

Los puntos $A, B$ y $C$ son las intersecciones del plano con los ejes coordenados: - **Punto A (Eje X):** Hacemos $y = 0, z = 0$ $$x - 0 - 0 + 8 = 0 \implies x = -8 \implies A(-8, 0, 0)$$ - **Punto B (Eje Y):** Hacemos $x = 0, z = 0$ $$0 - y - 0 + 8 = 0 \implies y = 8 \implies B(0, 8, 0)$$ - **Punto C (Eje Z):** Hacemos $x = 0, y = 0$ $$0 - 0 - z + 8 = 0 \implies z = 8 \implies C(0, 0, 8)$$ $$\boxed{A(-8, 0, 0), \quad B(0, 8, 0), \quad C(0, 0, 8)}$$

El área de un triángulo en el espacio se calcula como la mitad del módulo del producto vectorial de dos vectores que partan del mismo vértice, por ejemplo, $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. 1. Hallamos los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (0 - (-8), 8 - 0, 0 - 0) = (8, 8, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0 - (-8), 0 - 0, 8 - 0) = (8, 0, 8)$$ 2. Realizamos el producto vectorial paso a paso mediante el determinante: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 8 & 8 & 0 \\ 8 & 0 & 8 \end{vmatrix}$$ $$= \vec{i} \begin{vmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 8 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 8 & 0 \\ 8 & 8 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 8 & 8 \\ 8 & 0 \end{vmatrix}$$ $$= 64\vec{i} - 64\vec{j} - 64\vec{k} = (64, -64, -64)$$ 3. Calculamos el módulo del vector resultante: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{64^2 + (-64)^2 + (-64)^2} = \sqrt{3 \cdot 64^2} = 64\sqrt{3}$$ 4. El área es la mitad de dicho módulo: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{64\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto vectorial genera un vector perpendicular a ambos, cuyo módulo equivale al área del paralelogramo definido por ellos. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 32\sqrt{3} \approx 55.426 \text{ u}^2}$$