Teorema de Rolle en funciones a trozos

**2. Encuentra los valores $a, b$ y $c$ para que la función $f(x)$ verifique las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo $[0, 4]$ (6 puntos). Determina en qué punto(s) se verifica lo que asegura el teorema. (4 puntos)** Para que una función verifique el **Teorema de Rolle** en un intervalo $[p, q]$, debe cumplir tres hipótesis: 1. $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[0, 4]$. 2. $f(x)$ es derivable en el intervalo abierto $(0, 4)$. 3. Los valores de la función en los extremos coinciden: $f(0) = f(4)$. Analizaremos cada condición para hallar los parámetros $a, b$ y $c$. 💡 **Tip:** El teorema de Rolle asegura que, si se cumplen estas condiciones, existe al menos un punto $\xi \in (0, 4)$ tal que $f'(\xi) = 0$.

Empezamos por la condición $f(0) = f(4)$ para simplificar el sistema de ecuaciones: - Para $x=0$, usamos la primera rama ($x < 2$): $$f(0) = a(0)^2 + b(0) + 5 = 5$$ - Para $x=4$, usamos la segunda rama ($x \ge 2$): $$f(4) = c(4) + 1 = 4c + 1$$ Igualamos ambos resultados: $$5 = 4c + 1 \implies 4c = 4 \implies c = 1$$ Ya tenemos el valor del primer parámetro: $$\boxed{c = 1}$$

Para que $f(x)$ sea continua en $[0, 4]$, debe serlo especialmente en el punto de salto entre ramas $x = 2$. Se debe cumplir que $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$: - Límite por la izquierda ($x \to 2^-$): $$\lim_{x \to 2^-} (ax^2 + bx + 5) = a(2)^2 + b(2) + 5 = 4a + 2b + 5$$ - Límite por la derecha y valor en el punto ($x \to 2^+$): $$\lim_{x \to 2^+} (cx + 1) = c(2) + 1 = 2c + 1$$ Sustituyendo $c = 1$: $$2(1) + 1 = 3$$ Igualamos para garantizar la continuidad: $$4a + 2b + 5 = 3 \implies 4a + 2b = -2 \implies 2a + b = -1 \quad (\text{Ecuación 1})$$ 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua si los valores de las funciones en los extremos de los intervalos coinciden.

Para que $f(x)$ sea derivable en $(0, 4)$, debe serlo en $x = 2$. Calculamos primero la derivada genérica de las ramas: $$f'(x) = \begin{cases} 2ax + b & \text{si } x < 2 \\ c & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ Para que sea derivable, las derivadas laterales deben coincidir: - Derivada por la izquierda: $$f'(2^-) = 2a(2) + b = 4a + b$$ - Derivada por la derecha: $$f'(2^+) = c = 1$$ Igualamos: $$4a + b = 1 \quad (\text{Ecuación 2})$$

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones obtenidas: 1) $2a + b = -1$ 2) $4a + b = 1$ Restamos la ecuación (1) a la ecuación (2): $$(4a + b) - (2a + b) = 1 - (-1)$$ $$2a = 2 \implies a = 1$$ Sustituimos $a = 1$ en la ecuación (1): $$2(1) + b = -1 \implies b = -1 - 2 \implies b = -3$$ Los valores que verifican las hipótesis de Rolle son: $$\boxed{a = 1, b = -3, c = 1}$$

Con los valores hallados, la función y su derivada son: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + 5, & \text{si } x < 2, \\ x + 1, & \text{si } x \ge 2, \end{cases} \implies f'(x) = \begin{cases} 2x - 3, & \text{si } x < 2, \\ 1, & \text{si } x > 2. \end{cases}$$ El teorema de Rolle asegura que existe $\xi \in (0, 4)$ tal que $f'(\xi) = 0$. Analizamos cada rama: 1. En el intervalo $(2, 4)$, la derivada es $f'(x) = 1$, que nunca es cero. 2. En el intervalo $(0, 2)$, buscamos donde la derivada es nula: $$2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} = 1.5$$ Como $1.5$ pertenece al intervalo $(0, 2)$, este es el punto buscado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 1.5}$$

A continuación se muestra la representación gráfica de la función en el intervalo $[0, 4]$, donde se observa que en $x=1.5$ la tangente es horizontal.