Ecuación matricial con productos

Para resolver la ecuación matricial $A \cdot X \cdot B = I$, debemos aislar la matriz $X$. Para ello, multiplicaremos por las matrices inversas de $A$ y $B$ en el orden adecuado. Partimos de la ecuación: $$A \cdot X \cdot B = I$$ Multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$: $$A^{-1} \cdot (A \cdot X \cdot B) = A^{-1} \cdot I$$ $$(A^{-1} \cdot A) \cdot X \cdot B = A^{-1}$$ $$I \cdot X \cdot B = A^{-1} \implies X \cdot B = A^{-1}$$ Ahora, multiplicamos por la derecha por $B^{-1}$: $$(X \cdot B) \cdot B^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}$$ $$X \cdot (B \cdot B^{-1}) = A^{-1} \cdot B^{-1}$$ $$X \cdot I = A^{-1} \cdot B^{-1} \implies X = A^{-1} \cdot B^{-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo, por lo que es fundamental multiplicar por la izquierda o por la derecha según corresponda para eliminar las matrices adyacentes a $X$. $$\boxed{X = A^{-1} \cdot B^{-1}}$$

Calculamos $A^{-1}$ usando la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)^T$. 1. Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (1 \cdot 3) - (2 \cdot 1) = 3 - 2 = 1.$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz $A$ es invertible. 2. Calculamos la matriz de adjuntos $\text{adj}(A)$: $$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Calculamos la traspuesta de la adjunta: $$\text{adj}(A)^T = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 4. Obtenemos $A^{-1}$: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Calculamos $B^{-1}$ siguiendo el mismo procedimiento. 1. Calculamos el determinante de $B$: $$|B| = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (1 \cdot 1) = 2 - 1 = 1.$$ Como $|B| \neq 0$, la matriz $B$ es invertible. 2. Calculamos la matriz de adjuntos $\text{adj}(B)$: $$\text{adj}(B) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Calculamos la traspuesta de la adjunta: $$\text{adj}(B)^T = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 4. Obtenemos $B^{-1}$: $$B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$

Finalmente, multiplicamos las dos inversas obtenidas para hallar $X$: $$X = A^{-1} \cdot B^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Elemento $x_{11} = 3 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) = 6 + 2 = 8$ - Elemento $x_{12} = 3 \cdot (-1) + (-2) \cdot 1 = -3 - 2 = -5$ - Elemento $x_{21} = (-1) \cdot 2 + 1 \cdot (-1) = -2 - 1 = -3$ - Elemento $x_{22} = (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 1 + 1 = 2$ Por tanto: $$X = \begin{pmatrix} 8 & -5 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 8 & -5 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}}$$