Estudio de opiniones políticas en la UIB

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos y organizamos la información en una tabla de contingencia con los datos proporcionados. Definimos los sucesos: - $H$: El estudiante es chico. - $M$: El estudiante es chica. - $PP$: El estudiante votó al PP. - $PSIB$: El estudiante votó al PSIB. - $O$: El estudiante votó a otras formaciones. Datos conocidos: - Total de alumnos: $500$ - $n(PP) = 200$ - $n(PSIB) = 100$ - $n(O) = 500 - 200 - 100 = 200$ - $n(H) = 200 \implies n(M) = 500 - 200 = 300$ - Chicas en el PP: $40\% \text{ de } 200 = 0.4 \cdot 200 = 80$ - Chicos en el PSIB: $50\% \text{ de } 100 = 0.5 \cdot 100 = 50$ 💡 **Tip:** Las tablas de contingencia son ideales cuando tenemos datos de frecuencias absolutas de dos variables cualitativas, ya que permiten visualizar rápidamente todas las intersecciones. Completamos la tabla sumando filas y columnas: $$\begin{array}{c|ccc|c} & PP & PSIB & O & \text{Total} \\ \hline H & 120 & 50 & 30 & 200 \\ M & 80 & 50 & 170 & 300 \\ \hline \text{Total} & 200 & 100 & 200 & 500 \end{array}$$ *Nota: Los chicos del PP se sacan por diferencia ($200 - 80 = 120$), igual que las chicas del PSIB ($100 - 50 = 50$) y finalmente los chicos/chicas de 'Otros' usando los totales de H y M.*

**a) La probabilidad de que un estudiante haya votado a otras formaciones políticas y sea chica. (4 puntos)** Buscamos la probabilidad de la intersección entre ser chica ($M$) y haber votado a otras formaciones ($O$). Según nuestra tabla, hay **170** alumnas que cumplen ambos requisitos sobre un total de **500**. $$P(O \cap M) = \frac{n(O \cap M)}{n(\text{Total})} = \frac{170}{500}$$ Realizamos el cálculo: $$P(O \cap M) = 0.34$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(O \cap M) = 0.34}$$

**b) La probabilidad de que un estudiante chico haya votado al PP. (2 puntos)** Se trata de una probabilidad condicionada: sabemos que el estudiante es chico ($H$) y queremos saber la probabilidad de que haya votado al PP. $$P(PP | H) = \frac{n(PP \cap H)}{n(H)}$$ Mirando la fila de los chicos, hay **120** que votaron al PP de un total de **200** chicos: $$P(PP | H) = \frac{120}{200}$$ Dividimos: $$P(PP | H) = 0.6$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la probabilidad condicionada $P(A|B)$, el denominador es la probabilidad del suceso que ya sabemos que ha ocurrido (o el número de casos de ese suceso). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(PP | H) = 0.6}$$

**c) La probabilidad de que un estudiante que ha votado a otras formaciones políticas sea chica. (4 puntos)** En este caso, la condición es haber votado a otras formaciones ($O$). Queremos calcular la probabilidad de que sea chica ($M$) dado que votó a $O$. $$P(M | O) = \frac{n(M \cap O)}{n(O)}$$ Mirando la columna de 'O' (Otras formaciones), hay **170** chicas de un total de **200** votantes de ese grupo: $$P(M | O) = \frac{170}{200}$$ Calculamos: $$P(M | O) = 0.85$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M | O) = 0.85}$$