Puntos de una recta en planos coordenados y posición relativa

Para encontrar los puntos de la recta en los planos coordenados, lo más sencillo es expresar la recta en su forma paramétrica. Dada la recta en forma continua: $$\frac{x - 12}{1} = \frac{y + 6}{2} = \frac{z - 6}{3}$$ Igualamos cada fracción a un parámetro $\lambda$: $$x - 12 = \lambda \implies x = 12 + \lambda$$ $$\frac{y + 6}{2} = \lambda \implies y = -6 + 2\lambda$$ $$\frac{z - 6}{3} = \lambda \implies z = 6 + 3\lambda$$ Las ecuaciones paramétricas son: $$\begin{cases} x = 12 + \lambda \\ y = -6 + 2\lambda \\ z = 6 + 3\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Las ecuaciones paramétricas permiten identificar cualquier punto de la recta simplemente variando el valor de $\lambda$.

Un punto está en el plano $YZ$ cuando su coordenada $x$ es igual a cero. Sustituimos $x = 0$ en la ecuación paramétrica: $$12 + \lambda = 0 \implies \lambda_A = -12$$ Calculamos las demás coordenadas para este valor de $\lambda$: $$y = -6 + 2(-12) = -6 - 24 = -30$$ $$z = 6 + 3(-12) = 6 - 36 = -30$$ Llamamos a este punto **$A$**: $$\boxed{A(0, -30, -30)}$$

Un punto está en el plano $XZ$ cuando su coordenada $y$ es igual a cero. Sustituimos $y = 0$ en la ecuación paramétrica: $$-6 + 2\lambda = 0 \implies 2\lambda = 6 \implies \lambda_B = 3$$ Calculamos las demás coordenadas para este valor de $\lambda$: $$x = 12 + 3 = 15$$ $$z = 6 + 3(3) = 6 + 9 = 15$$ Llamamos a este punto **$B$**: $$\boxed{B(15, 0, 15)}$$

Un punto está en el plano $XY$ cuando su coordenada $z$ es igual a cero. Sustituimos $z = 0$ en la ecuación paramétrica: $$6 + 3\lambda = 0 \implies 3\lambda = -6 \implies \lambda_C = -2$$ Calculamos las demás coordenadas para este valor de $\lambda$: $$x = 12 + (-2) = 10$$ $$y = -6 + 2(-2) = -6 - 4 = -10$$ Llamamos a este punto **$C$**: $$\boxed{C(10, -10, 0)}$$

Para saber qué punto está entre los otros dos en una recta, podemos comparar los valores del parámetro $\lambda$ obtenidos para cada punto, ya que la recta se recorre de forma lineal según este parámetro. Los valores de $\lambda$ encontrados son: - Para el punto $A$: $\lambda_A = -12$ - Para el punto $B$: $\lambda_B = 3$ - Para el punto $C$: $\lambda_C = -2$ Ordenamos los valores de menor a mayor: $$-12 < -2 < 3$$ $$\lambda_A < \lambda_C < \lambda_B$$ Como el valor del parámetro correspondiente al punto $C$ se encuentra entre los valores de los parámetros de $A$ y $B$, concluimos que el punto **$C$** está situado entre $A$ y $B$. 💡 **Tip:** También se podría comprobar calculando las distancias entre los puntos, pero el uso del parámetro es mucho más directo y elegante en geometría analítica. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El punto } C(10, -10, 0) \text{ está situado entre } A \text{ y } B}$$