Estudio y cálculo de área de una función racional

**Haz un dibujo aproximado de la función anterior en el intervalo $[-1, 1]$. (5 puntos).** Primero, analizamos el dominio de la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2-1}$. El denominador se anula cuando: $$x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1$$ En el intervalo $[-1, 1]$, la función no está definida en los extremos $x = -1$ y $x = 1$. Estudiamos los límites laterales para determinar el comportamiento cerca de estos puntos: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{2}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to -1^+} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{2}{0^-} = -\infty$$ Esto indica que existen **asíntotas verticales** en $x = 1$ y $x = -1$. 💡 **Tip:** Las asíntotas verticales en funciones racionales aparecen en los valores de $x$ que anulan el denominador (y no el numerador).

Analizamos la simetría de la función: $$f(-x) = \frac{(-x)^2+1}{(-x)^2-1} = \frac{x^2+1}{x^2-1} = f(x)$$ La función es **par**, por lo que es simétrica respecto al eje $Y$. Calculamos la primera derivada para hallar los extremos relativos: $$f'(x) = \frac{2x(x^2-1) - (x^2+1)(2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2-1)^2} = \frac{-4x}{(x^2-1)^2}$$ Igualamos a cero para buscar puntos críticos: $$f'(x) = 0 \implies -4x = 0 \implies x = 0$$ Evaluamos el signo de la derivada en el intervalo $(-1, 1)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-1, 0) & 0 & (0, 1)\\\hline f'(x) & + & 0 & -\\\hline \text{Monotonía} & \text{Creciente} & \text{Máximo} & \text{Decreciente} \end{array}$$ Para $x=0$, $f(0) = \frac{0^2+1}{0^2-1} = -1$. El punto **$(0, -1)$ es un máximo relativo**.

Con la información obtenida (asíntotas en los extremos del intervalo, máximo en $(0,-1)$ y simetría), podemos realizar el dibujo aproximado: - La función viene desde $-\infty$ cerca de $x=-1$. - Sube hasta el punto $(0, -1)$. - Vuelve a bajar hacia $-\infty$ al acercarse a $x=1$.

**Calcula el área limitada por la gráfica de la función anterior, el eje de las X y las rectas verticales $x = -\frac{1}{2}$ y $x = \frac{1}{2}$. (5 puntos)** Como hemos visto en el gráfico anterior, en el intervalo $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$, la función está por debajo del eje $X$ ($f(x) < 0$). El área se calcula como: $$A = \int_{-1/2}^{1/2} |f(x)| \, dx = \int_{-1/2}^{1/2} -f(x) \, dx = - \int_{-1/2}^{1/2} \frac{x^2+1}{x^2-1} \, dx$$ Dado que la función es par, podemos simplificar el cálculo: $$A = 2 \int_{0}^{1/2} -\frac{x^2+1}{x^2-1} \, dx = -2 \int_{0}^{1/2} \frac{x^2+1}{x^2-1} \, dx$$

Para integrar $\frac{x^2+1}{x^2-1}$, primero realizamos la división de polinomios o un ajuste algebraico: $$\frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{x^2-1+2}{x^2-1} = 1 + \frac{2}{x^2-1}$$ Ahora descomponemos $\frac{2}{x^2-1}$ en fracciones simples: $$\frac{2}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$$ $$2 = A(x+1) + B(x-1)$$ - Si $x = 1 \implies 2 = 2A \implies A = 1$ - Si $x = -1 \implies 2 = -2B \implies B = -1$ Por tanto: $$\frac{x^2+1}{x^2-1} = 1 + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$$ 💡 **Tip:** Cuando el grado del numerador es igual o mayor que el del denominador, siempre debemos dividir primero.

Calculamos la integral indefinida: $$\int \left( 1 + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) dx = x + \ln|x-1| - \ln|x+1| = x + \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$$ Aplicamos la regla de Barrow para el área: $$A = -2 \left[ x + \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right]_{0}^{1/2}$$ $$A = -2 \left[ \left( \frac{1}{2} + \ln \left| \frac{1/2-1}{1/2+1} \right| \right) - \left( 0 + \ln \left| \frac{0-1}{0+1} \right| \right) \right]$$ $$A = -2 \left[ \left( \frac{1}{2} + \ln \left| \frac{-1/2}{3/2} \right| \right) - (\ln 1) \right]$$ $$A = -2 \left[ \frac{1}{2} + \ln \left( \frac{1}{3} \right) - 0 \right]$$ Como $\ln(1/3) = -\ln 3$: $$A = -2 \left( \frac{1}{2} - \ln 3 \right) = -1 + 2\ln 3$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 2\ln 3 - 1 \approx 1.197 \text{ unidades}^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si el resultado de la integral definida es negativo, es porque la función está por debajo del eje X y debemos tomar su valor absoluto.