Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Discuta para qué valores de $m$ el sistema siguiente es compatible:** Para discutir el sistema, representamos las ecuaciones en forma matricial. Definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 4 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \\ 4 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 4 & m & 1 & m+2 \\ 1 & 1 & m & -2(m+1) \\ 4 & 1 & 1 & m \end{array}\right)$$ Utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**, el cual establece que para que un sistema sea compatible, el rango de la matriz de coeficientes debe ser igual al rango de la matriz ampliada ($rg(A) = rg(A^*)$).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus para encontrar los valores críticos de $m$: $$|A| = \begin{vmatrix} 4 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \\ 4 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (4 \cdot 1 \cdot 1) + (m \cdot m \cdot 4) + (1 \cdot 1 \cdot 1) - [(4 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot m \cdot 4) + (1 \cdot 1 \cdot m)]$$ $$|A| = (4 + 4m^2 + 1) - (4 + 4m + m) = 4m^2 + 5 - (4 + 5m) = 4m^2 - 5m + 1$$ Igualamos a cero para hallar las raíces: $$4m^2 - 5m + 1 = 0 \implies m = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{8} = \frac{5 \pm 3}{8}$$ Las soluciones son: $$m_1 = \frac{8}{8} = 1, \quad m_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$ 💡 **Tip:** Si el determinante de $A$ es distinto de cero, el rango de $A$ es máximo (3) y el sistema siempre será compatible determinado.

Si $m \neq 1$ y $m \neq \frac{1}{4}$, el determinante $|A| \neq 0$. Esto implica que: $$rg(A) = 3 = rg(A^*) = \text{nº de incógnitas}$$ Según el Teorema de Rouché-Capelli, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una solución única para cada valor de $m$ en este intervalo. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 1 \text{ y } m \neq \frac{1}{4}, \text{ el sistema es Compatible Determinado}}$$

Estudiamos el rango de las matrices para $m = 1$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 4 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & -4 \\ 4 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que la primera y la tercera fila de la matriz $A$ son idénticas, por lo que $rg(A) = 2$ (ya que las dos primeras filas son linealmente independientes). Sin embargo, al observar la matriz ampliada $A^*$, si comparamos la primera y tercera fila: - Fila 1: $4x + y + z = 3$ - Fila 3: $4x + y + z = 1$ Es una contradicción evidente ($3 \neq 1$). Calculando un menor de orden 3 en $A^*$, por ejemplo con las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -4 \\ 4 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (4-16+3) - (12-16+1) = -9 - (-3) = -6 \neq 0 \implies rg(A^*) = 3$$ Como $rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**.

Estudiamos el rango de las matrices para $m = \frac{1}{4}$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 4 & 1/4 & 1 & 9/4 \\ 1 & 1 & 1/4 & -5/2 \\ 4 & 1 & 1 & 1/4 \end{array}\right)$$ Sabemos que $rg(A) = 2$ porque $|A|=0$ y hay menores de orden 2 distintos de cero. Calculamos un menor de orden 3 de $A^*$ tomando las columnas 1, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 4 & 1 & 9/4 \\ 1 & 1/4 & -5/2 \\ 4 & 1 & 1/4 \end{vmatrix} = (4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + (1 \cdot \frac{-5}{2} \cdot 4) + (\frac{9}{4} \cdot 1 \cdot 1) - [(\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot 4) + (1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4}) + (4 \cdot \frac{-5}{2} \cdot 1)]$$ $$= (\frac{1}{4} - 10 + \frac{9}{4}) - (\frac{9}{4} + \frac{1}{4} - 10) = (\frac{10}{4} - 10) - (\frac{10}{4} - 10) = 0$$ Probamos con el menor de las columnas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 1/4 & 1 & 9/4 \\ 1 & 1/4 & -5/2 \\ 1 & 1 & 1/4 \end{vmatrix} = (\frac{1}{64} - \frac{10}{4} + \frac{9}{4}) - (\frac{9}{16} - \frac{10}{16} + \frac{1}{4}) = (\frac{1}{64} - \frac{1}{4}) - (\frac{-1}{16} + \frac{4}{16}) = -\frac{15}{64} - \frac{3}{16} = -\frac{27}{64} \neq 0$$ Como $rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. 💡 **Tip:** Siempre que el rango de la ampliada sea mayor que el de la de coeficientes, el sistema no tiene solución.

Tras el análisis realizado mediante el Teorema de Rouché-Capelli, concluimos que: - El sistema es **Compatible Determinado** si $m \in \mathbb{R} \setminus \{1, 1/4\}$. - El sistema es **Incompatible** si $m = 1$ o $m = 1/4$. Por tanto, el sistema es compatible (específicamente compatible determinado) para todos los valores de $m$ excepto $1$ y $1/4$. ✅ **Resultado final (a):** $$\boxed{m \in \mathbb{R} \setminus \{1, 1/4\}}$$

**b) Resuélvalo en el caso en que $m = 0$.** Sustituimos $m = 0$ en el sistema original: $$\left. \begin{array}{r} 4x + 0y + z = 0 + 2 \\ x + y + 0z = -2(0 + 1) \\ 4x + y + z = 0 \end{array} \right\} \implies \begin{cases} 4x + z = 2 & (1) \\ x + y = -2 & (2) \\ 4x + y + z = 0 & (3) \end{cases}$$ Para resolverlo, restamos la ecuación $(1)$ de la ecuación $(3)$: $$(4x + y + z) - (4x + z) = 0 - 2 \implies y = -2$$ Sustituimos $y = -2$ en la ecuación $(2)$: $$x + (-2) = -2 \implies x = 0$$ Finalmente, sustituimos $x = 0$ en la ecuación $(1)$: $$4(0) + z = 2 \implies z = 2$$ ✅ **Resultado final (b):** $$\boxed{x = 0, \, y = -2, \, z = 2}$$