Distribución Normal: Pasos del profesor Jaimito

**a) Calcula la probabilidad de que el profesor dé más de 125 pasos durante una clase. (4 puntos)** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ que representa el número de pasos que da el profesor en una hora de clase. Según el enunciado, esta variable sigue una **distribución normal**: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(100, \, 20.5)$$ Donde: - Media: $\mu = 100$ - Desviación típica: $\sigma = 20.5$ Queremos calcular la probabilidad de que $X$ sea mayor que 125, es decir, $P(X \gt 125)$. 💡 **Tip:** Para trabajar con cualquier distribución normal, el primer paso suele ser la **tipificación** para poder usar la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$.

Para calcular $P(X \gt 125)$, tipificamos la variable usando la fórmula $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$: $$P(X \gt 125) = P\left( Z \gt \frac{125 - 100}{20.5} \right) = P\left( Z \gt \frac{25}{20.5} \right) \approx P(Z \gt 1.22)$$ Como las tablas de la normal estándar ofrecen la probabilidad acumulada hasta un valor ($P(Z \le z)$), aplicamos la propiedad del suceso contrario: $$P(Z \gt 1.22) = 1 - P(Z \le 1.22)$$ Buscamos el valor $1.22$ en la tabla $N(0,1)$: - En la fila $1.2$ y columna $0.02$, encontramos el valor $0.8888$. $$P(X \gt 125) = 1 - 0.8888 = 0.1112$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 125) = 0.1112}$$ (La probabilidad es del **11.12%**)

**b) Nos dicen que en el 45% de las clases que da el profesor este da menos de $x$ pasos. Encuentra este valor $x$. (6 puntos)** El enunciado nos indica que la probabilidad de dar menos de $x$ pasos es del 45%, lo que se traduce matemáticamente como: $$P(X \lt x) = 0.45$$ Nuevamente, tipificamos para pasar a la variable $Z$: $$P\left( Z \lt \frac{x - 100}{20.5} \right) = 0.45$$ Llamamos $z_0 = \dfrac{x - 100}{20.5}$ al valor crítico en la distribución normal estándar. 💡 **Tip:** Dado que $0.45$ es menor que $0.5$, sabemos que $z_0$ debe ser un número **negativo**, ya que la media en $N(0,1)$ es 0 y deja el 50% a cada lado.

Como $z_0$ es negativo, por simetría de la campana de Gauss sabemos que: $$P(Z \lt z_0) = 0.45 \implies P(Z \gt -z_0) = 0.45$$ Y usando el complementario: $$P(Z \le -z_0) = 1 - 0.45 = 0.55$$ Buscamos en el interior de la tabla normal el valor más próximo a $0.55$: - Para $z = 0.12$, la probabilidad es $0.5478$. - Para $z = 0.13$, la probabilidad es $0.5517$. El valor más cercano es $0.13$ (aunque se podría interpolar a $0.126$ para más precisión, en Bachillerato suele tomarse el más cercano o la media). Utilizaremos **$0.126$** o redondeando a **$0.13$**. Por tanto: $$-z_0 = 0.13 \implies z_0 = -0.13$$

Ahora deshacemos el cambio de la tipificación para hallar $x$: $$\frac{x - 100}{20.5} = -0.13$$ Despejamos $x$: $$x - 100 = -0.13 \cdot 20.5$$ $$x - 100 = -2.665$$ $$x = 100 - 2.665 = 97.335$$ Si hubiéramos usado el valor más preciso $z_0 = -0.1257$ (correspondiente a $0.55$ exacto): $$x = 100 - (0.1257 \cdot 20.5) \approx 97.42$$ Dependiendo de la tabla y redondeo, el valor se sitúa en torno a 97.3 - 97.4 pasos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x \approx 97.34 \text{ pasos}}$$