Distancia entre dos rectas en el espacio

Para calcular la distancia entre dos rectas, primero necesitamos expresarlas en una forma que nos permita identificar un punto y un vector director de cada una. Analizamos la recta $r$ definida por la intersección de dos planos: $$r : \begin{cases} z + y = 5 \\ z = 4 \end{cases}$$ De la segunda ecuación, obtenemos directamente que $z = 4$. Sustituimos este valor en la primera ecuación: $$4 + y = 5 \implies y = 1$$ Como la variable $x$ no aparece en las ecuaciones, puede tomar cualquier valor. Si llamamos $x = \lambda$, obtenemos las ecuaciones paramétricas de $r$: $$r: \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 \\ z = 4 \end{cases}$$ De aquí extraemos: - Un punto de la recta: **$P_r(0, 1, 4)$** (haciendo $\lambda = 0$). - El vector director: **$\vec{v}_r = (1, 0, 0)$**. 💡 **Tip:** En una recta dada por la intersección de dos planos, el vector director también se puede obtener mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos.

Analizamos ahora la recta $s$: $$s : \begin{cases} 2x - z = 3 \\ y = 0 \end{cases}$$ De la segunda ecuación, tenemos $y = 0$. De la primera, podemos despejar $z$ en función de $x$: $$z = 2x - 3$$ Si llamamos $x = \mu$, las ecuaciones paramétricas de $s$ son: $$s: \begin{cases} x = \mu \\ y = 0 \\ z = -3 + 2\mu \end{cases}$$ De aquí extraemos: - Un punto de la recta: **$P_s(0, 0, -3)$** (haciendo $\mu = 0$). - El vector director: **$\vec{v}_s = (1, 0, 2)$**. $$\boxed{P_s(0, 0, -3), \quad \vec{v}_s = (1, 0, 2)}$$

La fórmula de la distancia entre dos rectas que se cruzan requiere el producto vectorial de sus vectores directores $\vec{v}_r \times \vec{v}_s$. Calculamos el determinante mediante la regla de Sarrus: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = (0 \cdot 2 - 0 \cdot 0)\mathbf{i} - (1 \cdot 2 - 0 \cdot 1)\mathbf{j} + (1 \cdot 0 - 0 \cdot 1)\mathbf{k}$$ $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = 0\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = (0, -2, 0)$$ Calculamos el módulo de este vector: $$|\vec{v}_r \times \vec{v}_s| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$$ Como el producto vectorial es distinto de cero, los vectores no son paralelos. Las rectas se cruzan o se cortan.

Definimos el vector $\vec{P_r P_s}$ que une un punto de $r$ con un punto de $s$: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (0, 0, -3) - (0, 1, 4) = (0, -1, -7)$$ Ahora calculamos el valor absoluto del producto mixto $[\vec{P_r P_s}, \vec{v}_r, \vec{v}_s]$, que corresponde al producto escalar de $\vec{P_r P_s}$ por el vector obtenido en el paso anterior: $$|\vec{P_r P_s} \cdot (\vec{v}_r \times \vec{v}_s)| = |(0, -1, -7) \cdot (0, -2, 0)|$$ $$= |0 \cdot 0 + (-1) \cdot (-2) + (-7) \cdot 0| = |0 + 2 + 0| = 2$$ 💡 **Tip:** El valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores.

La distancia entre dos rectas $r$ y $s$ viene dada por la relación entre el volumen del paralelepípedo y el área de su base: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{P_r P_s}, \vec{v}_r, \vec{v}_s]|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|}$$ Sustituimos los valores calculados: $$d(r, s) = \frac{2}{2} = 1$$ La distancia es 1 unidad lineal. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{d(r, s) = 1 \text{ u}}$$