Estudio y área de una función racional

**2. Consideramos la función $f(x) = \frac{x^2}{2-x}$. Haz un dibujo aproximado de la función anterior en el intervalo $[-1, 1]$. (6 puntos).** Primero, analizamos el dominio de la función. El denominador se anula cuando: $$2 - x = 0 \implies x = 2$$ Como el valor $x = 2$ no pertenece al intervalo $[-1, 1]$, la función es continua en todo el intervalo de estudio. Calculamos los valores de la función en los extremos y en el origen para situar la gráfica: - Para $x = -1$: $f(-1) = \frac{(-1)^2}{2 - (-1)} = \frac{1}{3} \approx 0,33$ - Para $x = 0$: $f(0) = \frac{0^2}{2 - 0} = 0$ - Para $x = 1$: $f(1) = \frac{1^2}{2 - 1} = 1$ 💡 **Tip:** Siempre conviene comprobar si hay asíntotas verticales dentro del intervalo. En este caso, la asíntota está en $x=2$, fuera de nuestro margen de dibujo.

Para realizar un dibujo preciso, estudiamos el crecimiento y decrecimiento calculando la primera derivada: $$f'(x) = \frac{(x^2)' \cdot (2-x) - x^2 \cdot (2-x)'}{(2-x)^2} = \frac{2x(2-x) - x^2(-1)}{(2-x)^2}$$ $$f'(x) = \frac{4x - 2x^2 + x^2}{(2-x)^2} = \frac{4x - x^2}{(2-x)^2} = \frac{x(4-x)}{(2-x)^2}$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$x(4-x) = 0 \implies x = 0 \quad \text{y} \quad x = 4$$ En nuestro intervalo $[-1, 1]$, solo nos interesa el punto $x = 0$. Analizamos el signo de la derivada: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-1, 0) & 0 & (0, 1) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline \text{Comportamiento} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ La función tiene un **mínimo relativo en $(0, 0)$**. ✅ **Resultado (puntos clave):** $$\boxed{(-1, 1/3), \quad (0, 0) \text{ (mínimo)}, \quad (1, 1)}$$

Con los puntos calculados y sabiendo que la función decrece hasta el origen y luego crece, podemos realizar el dibujo aproximado en el intervalo solicitado. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\frac{x^2}{2-x} \\left\\{-1 \\le x \\le 1\\right\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "p1", "latex": "(-1, 1/3)", "color": "#111827", "showLabel": true }, { "id": "p2", "latex": "(0, 0)", "color": "#111827", "showLabel": true }, { "id": "p3", "latex": "(1, 1)", "color": "#111827", "showLabel": true } ], "bounds": { "left": -1.5, "right": 1.5, "bottom": -0.5, "top": 1.5 } } }

**Calcula el área limitada por la gráfica de la función anterior y el eje de las X. (4 puntos)** El área solicitada viene dada por la integral definida de la función en el intervalo $[-1, 1]$: $$A = \int_{-1}^{1} \frac{x^2}{2-x} dx$$ Observamos que en el intervalo $[-1, 1]$, la función $f(x)$ siempre es mayor o igual a $0$ (ya que $x^2 \ge 0$ y $2-x > 0$), por lo que no es necesario dividir la integral en recintos por cambios de signo. 💡 **Tip:** Si la función cruzara el eje X, tendríamos que calcular el área de cada recinto en valor absoluto.

Para resolver $\int \frac{x^2}{2-x} dx$, realizamos la división polinómica o un ajuste algebraico: $$\frac{x^2}{2-x} = \frac{x^2}{-x+2}$$ Dividiendo $x^2$ entre $-x+2$: 1. $x^2$ entre $-x$ es $-x$. 2. $(-x)(-x+2) = x^2 - 2x$. Restamos: $x^2 - (x^2 - 2x) = 2x$. 3. $2x$ entre $-x$ es $-2$. 4. $(-2)(-x+2) = 2x - 4$. Restamos: $2x - (2x - 4) = 4$. Por tanto: $$\frac{x^2}{2-x} = -x - 2 + \frac{4}{2-x}$$ Calculamos la integral: $$\int \left( -x - 2 + \frac{4}{2-x} \right) dx = -\frac{x^2}{2} - 2x - 4\ln|2-x| + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{a-x} dx = -\ln|a-x|$, por eso el signo del logaritmo cambia a negativo.

Aplicamos los límites de integración $[-1, 1]$ a la primitiva $F(x) = -\frac{x^2}{2} - 2x - 4\ln|2-x|$: $$A = \left[ -\frac{x^2}{2} - 2x - 4\ln|2-x| \right]_{-1}^{1}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=1$): $$F(1) = -\frac{1^2}{2} - 2(1) - 4\ln|2-1| = -0,5 - 2 - 4\ln(1) = -2,5$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=-1$): $$F(-1) = -\frac{(-1)^2}{2} - 2(-1) - 4\ln|2-(-1)| = -0,5 + 2 - 4\ln(3) = 1,5 - 4\ln(3)$$ Restamos ambos valores: $$A = F(1) - F(-1) = -2,5 - (1,5 - 4\ln(3)) = -4 + 4\ln(3) = 4(\ln 3 - 1)$$ Calculando el valor numérico aproximado: $$A \approx 4(1,0986 - 1) = 4(0,0986) \approx 0,3944 \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 4\ln(3) - 4 \approx 0,394 \text{ u}^2}$$