Conmutatividad de matrices 2x2

**1. Determina qué relaciones deben existir entre $a, b, c$ y $d$ para que se verifique $AM = MA$, siendo $A$ y $M$ las matrices siguientes: (10 puntos)** Para que dos matrices conmuten, el resultado de multiplicarlas en un orden debe ser igual al resultado en el orden inverso. Empezamos calculando el producto $AM$: $$AM = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot a + (-1) \cdot c & 0 \cdot b + (-1) \cdot d \\ 1 \cdot a + 1 \cdot c & 1 \cdot b + 1 \cdot d \end{pmatrix}$$ Operando cada elemento: $$AM = \begin{pmatrix} -c & -d \\ a + c & b + d \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices se realiza multiplicando las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda matriz elemento a elemento y sumando los resultados.

Ahora calculamos el producto en el orden inverso, $MA$: $$MA = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \cdot 0 + b \cdot 1 & a \cdot (-1) + b \cdot 1 \\ c \cdot 0 + d \cdot 1 & c \cdot (-1) + d \cdot 1 \end{pmatrix}$$ Operando cada elemento: $$MA = \begin{pmatrix} b & -a + b \\ d & -c + d \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Ten cuidado con los signos negativos al multiplicar matrices, es un error muy común en este tipo de ejercicios.

Para que se verifique la igualdad $AM = MA$, los elementos correspondientes de ambas matrices deben ser iguales. Igualamos las matrices obtenidas en los pasos anteriores: $$\begin{pmatrix} -c & -d \\ a + c & b + d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b & -a + b \\ d & -c + d \end{pmatrix}$$ Esto nos genera el siguiente sistema de cuatro ecuaciones: 1) $-c = b$ 2) $-d = -a + b$ 3) $a + c = d$ 4) $b + d = -c + d$

Analizamos las ecuaciones obtenidas para simplificar las relaciones: - De la ecuación (1), obtenemos directamente: **$c = -b$**. - De la ecuación (4), si restamos $d$ en ambos lados: $b = -c$, que es la misma relación que la anterior. - De la ecuación (2), despejamos $d$: **$d = a - b$**. - Comprobamos si estas relaciones cumplen la ecuación (3): $a + (-b) = a - b$. Como se cumple de forma idéntica, las relaciones encontradas son consistentes. Por lo tanto, las relaciones que deben existir entre los parámetros son que $c$ sea el opuesto de $b$, y que $d$ sea la diferencia entre $a$ y $b$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} c = -b \\ d = a - b \end{cases}}$$ 💡 **Tip:** En este tipo de ejercicios con matrices $2 \times 2$, es normal que las cuatro ecuaciones se reduzcan a solo dos condiciones independientes.