Probabilidad en una clase de bachillerato

**a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una persona que sea chico y suspenda$^1$ Lengua Castellana? (5 puntos)** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $M$: El alumno es chica. - $H$: El alumno es chico (suceso contrario a $M$, es decir, $H = \bar{M}$). - $A$: El alumno aprueba Lengua Castellana. - $S$: El alumno suspende Lengua Castellana (suceso contrario a $A$, es decir, $S = \bar{A}$). Del enunciado extraemos los siguientes datos de probabilidad: - $P(M) = 0.60$ - $P(A) = 0.40$ - $P(M \cap A) = 0.20$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de un suceso y su contrario es siempre 1. Por tanto, $P(H) = 1 - P(M) = 0.40$ y $P(S) = 1 - P(A) = 0.60$.

Para visualizar mejor los datos y calcular las probabilidades restantes, organizamos la información en una tabla de contingencia. Sabemos que: - $P(H) = 1 - 0.60 = 0.40$ - $P(S) = 1 - 0.40 = 0.60$ - $P(M \cap S) = P(M) - P(M \cap A) = 0.60 - 0.20 = 0.40$ - $P(H \cap A) = P(A) - P(M \cap A) = 0.40 - 0.20 = 0.20$ - $P(H \cap S) = P(H) - P(H \cap A) = 0.40 - 0.20 = 0.20$ $$\begin{array}{c|cc|c} & A \text{ (Aprueba)} & S \text{ (Suspende)} & \text{Total} \\\hline M \text{ (Chica)} & 0.20 & 0.40 & 0.60 \\ H \text{ (Chico)} & 0.20 & 0.20 & 0.40 \\\hline \text{Total} & 0.40 & 0.60 & 1.00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia, los valores internos deben sumar tanto en horizontal como en vertical para dar los totales de las filas y columnas.

Para resolver el apartado a, buscamos la probabilidad de la intersección entre ser chico y suspender, es decir, $P(H \cap S)$. Consultando nuestra tabla de contingencia realizada en el paso anterior, observamos que el valor correspondiente a la fila de los chicos ($H$) y la columna de suspender ($S$) es: $$P(H \cap S) = 0.20$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H \cap S) = 0.20}$$

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que un chico suspenda Lengua Castellana? (2 puntos)** Este apartado nos pide una probabilidad condicionada: sabiendo que el alumno es chico, ¿cuál es la probabilidad de que suspenda? Esto se denota como $P(S|H)$. Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(S|H) = \frac{P(H \cap S)}{P(H)}$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$P(S|H) = \frac{0.20}{0.40} = 0.5$$ 💡 **Tip:** La probabilidad condicionada $P(A|B)$ reduce el espacio muestral al suceso $B$. En este caso, solo nos fijamos en el grupo de los chicos (0.40) y vemos qué parte de ellos suspende (0.20). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S|H) = 0.5}$$

**c) Si un alumno ha aprobado Lengua Castellana, ¿cuál es la probabilidad de que sea un chico? (3 puntos)** En este caso, la condición es que el alumno ha aprobado ($A$). Se nos pide la probabilidad de que sea chico ($H$): $$P(H|A) = \frac{P(H \cap A)}{P(A)}$$ De la tabla de contingencia sabemos que $P(H \cap A) = 0.20$ y $P(A) = 0.40$: $$P(H|A) = \frac{0.20}{0.40} = 0.5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H|A) = 0.5}$$