Recta que pasa por el origen e intersecta a otras dos

**3. Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el origen de coordenadas y corta las rectas: (10 puntos)** Primero, vamos a expresar las rectas $r$ y $s$ en una forma más manejable (punto y vector director) para facilitar los cálculos. Para la recta $r: x = 2y = z - 1$, podemos escribirla en forma continua igualando a un parámetro o dividiendo por los coeficientes: $$r: \frac{x}{1} = \frac{y}{1/2} = \frac{z-1}{1} \implies \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{2}$$ - Un punto de $r$ es $P_r(0, 0, 1)$. - Su vector director es $\vec{v_r} = (2, 1, 2)$. Para la recta $s: 3x = 2y - 2 = 6z$, dividimos toda la expresión por $6$: $$s: \frac{3x}{6} = \frac{2y-2}{6} = \frac{6z}{6} \implies \frac{x}{2} = \frac{y-1}{3} = \frac{z}{1}$$ - Un punto de $s$ es $P_s(0, 1, 0)$. - Su vector director es $\vec{v_s} = (2, 3, 1)$. 💡 **Tip:** Para pasar de una forma de igualdad múltiple a continua, intenta dejar las variables $x, y, z$ con coeficiente 1 en el numerador dividiendo cada término por el mínimo común múltiplo de sus coeficientes.

Buscamos una recta $t$ que pase por el origen $O(0, 0, 0)$ y corte a $r$ y a $s$. Esta recta $t$ se puede obtener como la intersección de dos planos: 1. El plano $\pi_1$ que contiene al punto $O$ y a la recta $r$. 2. El plano $\pi_2$ que contiene al punto $O$ y a la recta $s$. La recta $t$ será la intersección de ambos planos, ya que por construcción contendrá a $O$ y, al estar en el mismo plano que $r$ (y no ser paralela), la cortará. Lo mismo ocurre con $s$.

El plano $\pi_1$ pasa por $O(0,0,0)$ y contiene a $r$ (punto $P_r(0,0,1)$ y vector $\vec{v_r}(2, 1, 2)$). Para definir el plano necesitamos dos vectores directores: - $\vec{v_r} = (2, 1, 2)$. - $\vec{OP_r} = P_r - O = (0, 0, 1) - (0, 0, 0) = (0, 0, 1)$. La ecuación del plano se obtiene mediante el determinante: $$\pi_1: \begin{vmatrix} x - 0 & y - 0 & z - 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la tercera fila (que tiene dos ceros): $$\pi_1: 0 \cdot \begin{vmatrix} y & z \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} x & z \\ 2 & 2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} x & y \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$x - 2y = 0$$ $$\boxed{\pi_1: x - 2y = 0}$$

El plano $\pi_2$ pasa por $O(0,0,0)$ y contiene a $s$ (punto $P_s(0,1,0)$ y vector $\vec{v_s}(2, 3, 1)$). Vectores directores del plano: - $\vec{v_s} = (2, 3, 1)$. - $\vec{OP_s} = P_s - O = (0, 1, 0) - (0, 0, 0) = (0, 1, 0)$. Ecuación del plano: $$\pi_2: \begin{vmatrix} x - 0 & y - 0 & z - 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la tercera fila: $$\pi_2: -1 \cdot \begin{vmatrix} x & z \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(x - 2z) = -x + 2z = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar: $$x - 2z = 0$$ $$\boxed{\pi_2: x - 2z = 0}$$

La recta buscada $t$ es la intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$: $$t: \begin{cases} x - 2y = 0 \\ x - 2z = 0 \end{cases}$$ Para obtener las ecuaciones paramétricas, expresamos todas las variables en función de un parámetro $\lambda$. Si hacemos $x = 2\lambda$: - De $x - 2y = 0 \implies 2y = x \implies 2y = 2\lambda \implies y = \lambda$. - De $x - 2z = 0 \implies 2z = x \implies 2z = 2\lambda \implies z = \lambda$. 💡 **Tip:** Podríamos haber usado $x = \lambda$, pero usar $x = 2\lambda$ nos permite evitar fracciones en las ecuaciones finales. Las ecuaciones paramétricas son: $$\begin{cases} x = 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{t: \begin{cases} x = 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = \lambda \end{cases}, \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$