Optimización: Superficie mínima de una caja cuadrangular

Para resolver este problema de optimización, primero definimos las variables que caracterizan a la caja: - Sea $x$ el lado de la base cuadrada (en metros). - Sea $h$ la altura de la caja (en metros). El enunciado nos da el **volumen** de la caja: $$V = x^2 \cdot h = 64 \text{ m}^3$$ De esta relación, podemos despejar la altura $h$ en función de $x$: $$h = \frac{64}{x^2}$$ Queremos minimizar la **superficie total** de la caja. Como tiene dos tapas (base y parte superior), la superficie $S$ es la suma del área de las dos bases más el área de las cuatro caras laterales: $$S = 2x^2 + 4xh$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el volumen de un prisma es el área de la base por la altura ($A_b \cdot h$) y su superficie es la suma de todas sus caras.

Sustituimos la expresión de $h$ que obtuvimos del volumen en la fórmula de la superficie para tener una función que dependa de una sola variable, $S(x)$: $$S(x) = 2x^2 + 4x \cdot \left( \frac{64}{x^2} \right)$$ $$S(x) = 2x^2 + \frac{256}{x}$$ El dominio de esta función, dado que hablamos de dimensiones físicas, es $x \in (0, +\infty)$. 💡 **Tip:** Al simplificar $4x \cdot \frac{64}{x^2}$, una $x$ del numerador se cancela con una del denominador, quedando $\frac{256}{x}$.

Para hallar el mínimo, derivamos la función $S(x)$ e igualamos a cero: $$S'(x) = \frac{d}{dx} \left( 2x^2 + 256x^{-1} \right)$$ $$S'(x) = 4x - 256x^{-2} = 4x - \frac{256}{x^2}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$4x - \frac{256}{x^2} = 0 \implies 4x = \frac{256}{x^2}$$ $$4x^3 = 256 \implies x^3 = \frac{256}{4} = 64$$ $$x = \sqrt[3]{64} = 4$$ El valor crítico obtenido es **$x = 4$ metros**. 💡 **Tip:** Para derivar $\frac{256}{x}$, es más sencillo verla como $256x^{-1}$, cuya derivada es $-256x^{-2}$.

Debemos comprobar que en $x = 4$ existe un mínimo relativo. Utilizaremos el criterio de la **segunda derivada**: $$S''(x) = \frac{d}{dx} \left( 4x - 256x^{-2} \right) = 4 + 512x^{-3} = 4 + \frac{512}{x^3}$$ Evaluamos en el punto crítico $x = 4$: $$S''(4) = 4 + \frac{512}{4^3} = 4 + \frac{512}{64} = 4 + 8 = 12$$ Como **$S''(4) = 12 \gt 0$**, por el criterio de la segunda derivada, la función presenta un **mínimo relativo** en $x = 4$. También podemos analizar el signo de $S'(x)$ en una tabla: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 4) & 4 & (4, +\infty) \\ \hline S'(x) & - & 0 & + \\ \text{Comportamiento} & \searrow & \min & \nearrow \end{array} $$ 💡 **Tip:** Si la segunda derivada es positiva en un punto donde la primera es cero, la curva es "convexa" (forma de U), lo que garantiza un mínimo.

Una vez hallado el valor de $x$ que minimiza la superficie, calculamos la altura $h$: $$h = \frac{64}{x^2} = \frac{64}{4^2} = \frac{64}{16} = 4$$ Por tanto, las dimensiones de la caja para que la superficie sea mínima son: - Lado de la base: **$x = 4$ m** - Altura: **$h = 4$ m** (Se trata de un cubo). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 4 \text{ m}, \quad h = 4 \text{ m}}$$