Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) Discuta para qué valores de $m$ el sistema siguiente es compatible:** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, identificando la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 4 & m & 1 \\ m & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 4 & m & 1 & m+2 \\ m & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, debemos calcular el determinante de la matriz $A$ para saber cuándo su rango es máximo (rango 3).

Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 4 & m & 1 \\ m & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = [4(1)(1) + m(-1)(1) + 1(m)(3)] - [1(1)(1) + 3(-1)(4) + 1(m)(m)]$$ $$|A| = [4 - m + 3m] - [1 - 12 + m^2]$$ $$|A| = 4 + 2m - (m^2 - 11) = -m^2 + 2m + 15$$ Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos de $m$: $$-m^2 + 2m + 15 = 0 \implies m^2 - 2m - 15 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-15)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2}$$ Obtenemos los valores: $$\boxed{m_1 = 5, \quad m_2 = -3}$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $3 \times 3$ nos permite determinar rápidamente si el rango es máximo. Si $|A| \neq 0$, el rango de $A$ es 3.

Analizamos los diferentes casos según el valor de $m$ utilizando el **Teorema de Rouché-Frobenius**: **Caso 1: $m \neq 5$ y $m \neq -3$** En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que el número de filas) - Número de incógnitas $= 3$ Al coincidir los rangos con el número de incógnitas, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una solución única. ✅ **Conclusión parcial:** El sistema es compatible si $m \neq 5$ y $m \neq -3$.

**Caso 2: $m = 5$** La matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 1 & 7 \\ 5 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $\text{rango}(A) < 3$ porque $|A|=0$. Como el menor $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-3) = 4 \neq 0$, entonces $\text{rango}(A) = 2$. Calculamos el rango de $A^*$ comprobando si algún menor de orden 3 que incluya la columna de términos constantes es distinto de cero. Elegimos el menor formado por las columnas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 5 & 1 & 7 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 7 \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 7(1+3) = 28 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rango}(A^*) = 3$. Como $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**.

**Caso 3: $m = -3$** La matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 1 & -1 \\ -3 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ De nuevo, $\text{rango}(A) = 2$ (pues el menor $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 4 \neq 0$). Evaluamos el rango de $A^*$ con el menor de las columnas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} -3 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -1(1+3) = -4 \neq 0$$ Como $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado Final apartado a):** $$\boxed{\text{El sistema es compatible si y solo si } m \in \mathbb{R} \setminus \{5, -3\}}$$

**b) Resuélvalo en el caso en que $m = -2$.** Sustituimos $m = -2$ en el sistema: $$\left. \begin{array}{r} 4x - 2y + z = 0 \\ -2x + y - z = 0 \\ x + 3y + z = 0 \end{array} \right\}$$ Observamos que el término independiente de la primera ecuación es $m+2 = -2+2 = 0$. Por tanto, se trata de un **sistema homogéneo**. Como hemos visto en el apartado (a), para $m = -2$, el sistema es **Compatible Determinado** ($|A| \neq 0$ ya que $-2$ no es $5$ ni $-3$). Un sistema homogéneo compatible determinado solo tiene la **solución trivial**. Podemos verificarlo sumando las dos primeras ecuaciones: $$(4x - 2y + z) + (-2x + y - z) = 0 \implies 2x - y = 0 \implies y = 2x$$ Sustituyendo en la tercera ecuación: $$x + 3(2x) + z = 0 \implies 7x + z = 0 \implies z = -7x$$ Sustituyendo en la segunda ecuación: $$-2x + (2x) - (-7x) = 0 \implies 7x = 0 \implies x = 0$$ Entonces $y = 2(0) = 0$ y $z = -7(0) = 0$. 💡 **Tip:** Siempre que un sistema sea homogéneo y el determinante de la matriz de coeficientes sea distinto de cero, la única solución posible es $x=0, y=0, z=0$. ✅ **Resultado Final apartado b):** $$\boxed{x = 0, \quad y = 0, \quad z = 0}$$