Distribuciones Binomial y Normal

**a) Un examen tipo test consta de 10 preguntas, cada una con 4 respuestas de las cuales solo una es correcta. Si se contesta al azar, ¿cuál es la probabilidad de contestar bien al menos dos preguntas? (2 puntos)** Primero, definimos la variable aleatoria: $X$ = número de preguntas contestadas correctamente de un total de 10. Estamos ante una **distribución binomial** porque: 1. Cada pregunta tiene solo dos resultados posibles: éxito (acertar) o fracaso (fallar). 2. El número de ensayos es fijo ($n = 10$). 3. La probabilidad de éxito $p$ es constante en cada pregunta. Como hay 4 respuestas y solo una es correcta: $$p = \frac{1}{4} = 0.25 \implies q = 1 - p = 0.75$$ Por tanto, la variable sigue una binomial: **$X \sim B(10, \, 0.25)$**. 💡 **Tip:** Una distribución binomial $B(n, p)$ cuenta el número de éxitos en $n$ pruebas independientes con probabilidad de éxito $p$.

Se nos pide la probabilidad de acertar al menos dos preguntas, es decir, $P(X \ge 2)$. Calcular directamente $P(X=2) + P(X=3) + \dots + P(X=10)$ es muy laborioso. Es mucho más sencillo utilizar el **suceso contrario**: $$P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$$ Recordamos la fórmula de la probabilidad binomial: $$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Calculamos cada término: - Para $k=0$: $$P(X=0) = \binom{10}{0} \cdot 0.25^0 \cdot 0.75^{10} = 1 \cdot 1 \cdot 0.0563 = 0.0563$$ - Para $k=1$: $$P(X=1) = \binom{10}{1} \cdot 0.25^1 \cdot 0.75^9 = 10 \cdot 0.25 \cdot 0.0751 = 0.1877$$ 💡 **Tip:** El número combinatorio $\binom{n}{0}$ siempre es 1 y $\binom{n}{1}$ siempre es $n$.

Sumamos las probabilidades halladas y restamos de la unidad: $$P(X \ge 2) = 1 - (0.0563 + 0.1877) = 1 - 0.2440 = 0.7560$$ La probabilidad de acertar al menos dos preguntas es del $75.60\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 2) = 0.7560}$$

**b) La duración de un cierto tipo de pilas eléctricas es una variable que sigue una distribución normal de media 50 horas e desviación típica 5 horas. Calcula la probabilidad de que una pila eléctrica de este tipo, elegida al azar, dure menos de 42 horas.** Definimos la variable aleatoria: $X$ = duración de una pila en horas. El enunciado indica que $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu=50, \, \sigma=5)$$ Queremos calcular la probabilidad de que dure menos de 42 horas: **$P(X \lt 42)$**. 💡 **Tip:** Para trabajar con cualquier normal $N(\mu, \sigma)$, el primer paso siempre es **tipificar** para convertirla en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$.

Tipificamos el valor $x = 42$: $$P(X \lt 42) = P\left(Z \lt \frac{42 - 50}{5}\right) = P\left(Z \lt \frac{-8}{5}\right) = P(Z \lt -1.6)$$ Como la tabla de la normal estándar solo ofrece valores positivos y acumulados hacia la izquierda, aplicamos las propiedades de simetría: 1. Por simetría: $P(Z \lt -1.6) = P(Z \gt 1.6)$ 2. Por el suceso complementario: $P(Z \gt 1.6) = 1 - P(Z \le 1.6)$ Buscamos en la tabla el valor para $1.6$ (fila $1.6$ y columna $0.00$): $$P(Z \le 1.6) = 0.9452$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(Z \lt -a) = 1 - P(Z \le a)$ para cualquier valor positivo $a$ debido a la forma de campana de Gauss.

Sustituimos el valor de la tabla en nuestra expresión: $$P(X \lt 42) = 1 - 0.9452 = 0.0548$$ La probabilidad de que una pila dure menos de 42 horas es de $0.0548$ (aproximadamente un $5.48\%$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \lt 42) = 0.0548}$$