Paralelismo, distancias y planos perpendiculares

**a) Dado el plano $\pi: 2x - y - 2z - 3 = 0$, calcula el valor de $a$ para que la recta $r$ que pasa por los puntos $P(a,a,a)$ y $Q(1,3,0)$ sea paralela al plano $\pi$. (3 puntos)** Para que una recta $r$ sea paralela a un plano $\pi$, su vector director $\vec{v_r}$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. Esto implica que su producto escalar debe ser cero: $\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = 0$. 1. Hallamos el vector normal del plano $\pi$ a partir de sus coeficientes: $$\vec{n_\pi} = (2, -1, -2)$$ 2. Hallamos el vector director de la recta $r$ que une $Q$ y $P$: $$\vec{v_r} = \vec{QP} = P - Q = (a, a, a) - (1, 3, 0) = (a-1, a-3, a)$$ 3. Aplicamos la condición de perpendicularidad (producto escalar nulo): $$\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = (a-1, a-3, a) \cdot (2, -1, -2) = 0$$ $$2(a-1) - 1(a-3) - 2(a) = 0$$ $$2a - 2 - a + 3 - 2a = 0$$ $$-a + 1 = 0 \implies a = 1$$ 💡 **Tip:** Además de la perpendicularidad de los vectores, para que la recta sea paralela (y no esté contenida), debemos comprobar que un punto de la recta, por ejemplo $Q(1,3,0)$, no pertenece al plano: $$2(1) - (3) - 2(0) - 3 = 2 - 3 - 3 = -4 \neq 0$$ Como no se cumple la ecuación, la recta es estrictamente paralela. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1}$$

**b) Para $a = 1$, calcula la distancia de $r$ a $\pi$.** Como para $a=1$ la recta es paralela al plano, la distancia de la recta al plano es constante e igual a la distancia de cualquier punto de la recta al plano. Usaremos el punto $Q(1,3,0)$. La fórmula de la distancia de un punto $Q(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es: $$d(Q, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los datos: $$d(r, \pi) = d(Q, \pi) = \frac{|2(1) - 1(3) - 2(0) - 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2}}$$ $$d(r, \pi) = \frac{|2 - 3 - 3|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|-4|}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** Si la recta no fuera paralela al plano, la distancia sería $0$ (se cortarían en un punto). ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, \pi) = \frac{4}{3} \text{ u}}$$

**c) Para $a = 1$, calcula la ecuación implícita o general del plano que es perpendicular a $\pi$ y contiene a $r$.** Llamemos $\pi'$ al plano buscado. Para determinar su ecuación general, necesitamos un punto y dos vectores directores contenidos en él (o su vector normal). 1. Contiene a la recta $r$: Por tanto, el punto $Q(1,3,0)$ está en $\pi'$ y el vector director de la recta $\vec{v_r}$ es un vector director del plano. Con $a=1$, tenemos $\vec{v_r} = (1-1, 1-3, 1) = (0, -2, 1)$. 2. Es perpendicular a $\pi$: El vector normal de $\pi$, $\vec{n_\pi} = (2, -1, -2)$, debe ser paralelo al plano $\pi'$, por lo que actúa como segundo vector director. Calculamos el vector normal de $\pi'$ mediante el producto vectorial: $$\vec{n_{\pi'}} = \vec{v_r} \times \vec{n_\pi} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{n_{\pi'}} = [(-2)(-2)\vec{i} + (1)(2)\vec{j} + (0)(-1)\vec{k}] - [(2)(-2)\vec{k} + (-1)(1)\vec{i} + (-2)(0)\vec{j}]$$ $$\vec{n_{\pi'}} = (4\vec{i} + 2\vec{j} + 0\vec{k}) - (-4\vec{k} - 1\vec{i} + 0\vec{j}) = 5\vec{i} + 2\vec{j} + 4\vec{k} = (5, 2, 4)$$ La ecuación del plano es de la forma $5x + 2y + 4z + D = 0$. Imponemos que pase por $Q(1,3,0)$: $$5(1) + 2(3) + 4(0) + D = 0 \implies 5 + 6 + D = 0 \implies D = -11$$ 💡 **Tip:** Un plano queda definido por un punto y dos vectores directores $\vec{u}, \vec{v}$. Su ecuación se puede hallar también resolviendo el determinante $\text{det}(\vec{X-Q}, \vec{u}, \vec{v}) = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{5x + 2y + 4z - 11 = 0}$$