Continuidad, derivabilidad, optimización e integrales

**a) Calcula $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \begin{cases} e^{2x} + ax + b & \text{si } x < 0 \\ \frac{1}{2}(x^2 + 2) & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$ sea continua y derivable en $x = 0$. (3 puntos)** Para que la función sea derivable en $x=0$, primero debe ser continua en dicho punto. Una función es continua en $x=0$ si se cumple que: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ Calculamos los límites laterales: - Límite por la izquierda ($x \lt 0$): $$\lim_{x \to 0^-} (e^{2x} + ax + b) = e^0 + a(0) + b = 1 + b$$ - Límite por la derecha y valor en el punto ($x \ge 0$): $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}(x^2 + 2) = f(0) = \frac{1}{2}(0^2 + 2) = 1$$ Igualamos ambos resultados para asegurar la continuidad: $$1 + b = 1 \implies b = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la continuidad es una condición necesaria pero no suficiente para la derivabilidad. $$\boxed{b = 0}$$

Una vez garantizada la continuidad con $b=0$, estudiamos la derivabilidad. Calculamos la derivada de la función en las ramas abiertas: $$f'(x) = \begin{cases} 2e^{2x} + a & \text{si } x < 0 \\ x & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x=0$, las derivadas laterales deben coincidir: $$\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} f'(x)$$ - Derivada lateral izquierda: $$\lim_{x \to 0^-} (2e^{2x} + a) = 2e^0 + a = 2 + a$$ - Derivada lateral derecha: $$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$ Igualamos las derivadas laterales: $$2 + a = 0 \implies a = -2$$ Por tanto, para que la función sea continua y derivable en $x=0$, los valores deben ser: $$\boxed{a = -2, \quad b = 0}$$

**b) Calcula los vértices del rectángulo de área máxima que se puede construir, si uno de los vértices es $O(0,0)$, otro está sobre el eje $x$, otro sobre el eje $y$ y el otro sobre la recta $2x + 3y = 8$.** Definimos los vértices del rectángulo en el primer cuadrante: - $O(0,0)$ - $A(x,0)$ en el eje $x$ - $C(0,y)$ en el eje $y$ - $B(x,y)$ sobre la recta $2x + 3y = 8$ Como el punto $B(x,y)$ pertenece a la recta, podemos despejar $y$ en función de $x$: $$3y = 8 - 2x \implies y = \frac{8 - 2x}{3}$$ La función a maximizar es el área del rectángulo $A = ext{base} \cdot ext{altura}$: $$A(x) = x \cdot y = x \cdot \left(\frac{8 - 2x}{3}\right) = \frac{8x - 2x^2}{3}$$ El dominio de esta función, dado que $x$ e $y$ deben ser positivos para formar un rectángulo en el primer cuadrante, es $x \in (0, 4)$ (ya que si $x=4, y=0$).

Para hallar el máximo, derivamos la función área e igualamos a cero: $$A'(x) = \frac{1}{3}(8 - 4x)$$ $$A'(x) = 0 \implies 8 - 4x = 0 \implies x = 2$$ Comprobamos que es un máximo usando la segunda derivada: $$A''(x) = -\frac{4}{3}$$ Como $A''(2) = -4/3 \lt 0$, se confirma que en $x=2$ hay un **máximo relativo**. Calculamos la coordenada $y$ correspondiente: $$y = \frac{8 - 2(2)}{3} = \frac{4}{3}$$ Los vértices del rectángulo son: - $O(0,0)$ - $A(2,0)$ - $B(2, 4/3)$ - $C(0, 4/3)$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(0,0), (2,0), (2, 4/3), (0, 4/3)}$$

**c) Calcula $\int_0^3 x\sqrt{x+1} dx$.** Resolvemos la integral mediante el método de sustitución (cambio de variable): Sea $t = x+1$, entonces $dt = dx$ y $x = t-1$. Cambiamos los límites de integración: - Si $x=0 \implies t=0+1=1$ - Si $x=3 \implies t=3+1=4$ Sustituimos en la integral: $$\int_1^4 (t-1)\sqrt{t} dt = \int_1^4 (t-1)t^{1/2} dt = \int_1^4 (t^{3/2} - t^{1/2}) dt$$ Calculamos la primitiva: $$\int (t^{3/2} - t^{1/2}) dt = \frac{t^{5/2}}{5/2} - \frac{t^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{5}t^{5/2} - \frac{2}{3}t^{3/2}$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$\left[ \frac{2}{5}t^{5/2} - \frac{2}{3}t^{3/2} \right]_1^4 = \left( \frac{2}{5}(4)^{5/2} - \frac{2}{3}(4)^{3/2} \right) - \left( \frac{2}{5}(1)^{5/2} - \frac{2}{3}(1)^{3/2} \right)$$ Operamos los valores (recordando que $4^{1/2}=2$): - Para $t=4$: $\frac{2}{5}(32) - \frac{2}{3}(8) = \frac{64}{5} - \frac{16}{3} = \frac{192 - 80}{15} = \frac{112}{15}$ - Para $t=1$: $\frac{2}{5} - \frac{2}{3} = \frac{6 - 10}{15} = -\frac{4}{15}$ Resultado final: $$\frac{112}{15} - \left( -\frac{4}{15} \right) = \frac{112 + 4}{15} = \frac{116}{15}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{116}{15}}$$