Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetros

**a) Discute, según los valores del parámetro $m$, el sistema de ecuaciones: $\begin{cases} 3x - 6y + mz = 0 \\ x - 2y + z = 0 \\ x + y = m \end{cases}$ (2 puntos)** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 3 & -6 & m \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -6 & m & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & m \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos permite discutir el sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes ($A$), el rango de la matriz ampliada ($A^*$) y el número de incógnitas ($n=3$).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ para ver para qué valores de $m$ el rango de $A$ es máximo (rango 3). Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & -6 & m \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (3 \cdot (-2) \cdot 0) + (1 \cdot 1 \cdot m) + (-6 \cdot 1 \cdot 1) - [1 \cdot (-2) \cdot m + 1 \cdot 1 \cdot 3 + (-6) \cdot 1 \cdot 0]$$ $$|A| = 0 + m - 6 - [-2m + 3 + 0]$$ $$|A| = m - 6 + 2m - 3 = 3m - 9$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$3m - 9 = 0 \implies 3m = 9 \implies m = 3$$ $$\boxed{|A| = 3m - 9}$$

Analizamos los casos según el valor de $m$ utilizando el **Teorema de Rouché-Frobenius**: **Caso 1: $m \neq 3$** Si $m \neq 3$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es $\text{rg}(A) = 3$. Como el rango de la matriz ampliada no puede ser mayor que 3 y contiene a $A$, $\text{rg}(A^*) = 3$ también. Dado que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n = 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una solución única. **Caso 2: $m = 3$** Si $m = 3$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2.$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ sustituyendo $m=3$: $$A^* = \begin{pmatrix} 3 & -6 & 3 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ Observamos que la primera fila es el triple de la segunda ($F_1 = 3F_2$), por lo que no aporta información nueva. El rango de $A^*$ será el mismo que el de $A$: $$\text{rg}(A^*) = 2.$$ Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, tiene infinitas soluciones. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\text{Si } m \neq 3 \text{: SCD. Si } m = 3 \text{: SCI.}}$$

**b) Resuélvelo, si es posible, cuando $m = 3$.** Para $m=3$, hemos visto que el sistema es Compatible Indeterminado. Eliminamos la primera ecuación (por ser proporcional a la segunda) y nos quedamos con el sistema equivalente: $$\begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ x + y = 3 \end{cases}$$ Como el rango es 2, necesitamos un parámetro. Tomamos $y = \lambda$ (donde $\lambda \in \mathbb{R}$): 1. De la segunda ecuación: $x + \lambda = 3 \implies \mathbf{x = 3 - \lambda}$ 2. Sustituimos en la primera: $(3 - \lambda) - 2\lambda + z = 0 \implies 3 - 3\lambda + z = 0 \implies \mathbf{z = 3\lambda - 3}$ 💡 **Tip:** Al resolver un SCI, el número de parámetros necesarios es $n - \text{rg}(A) = 3 - 2 = 1$. ✅ **Resultado (Solución para m = 3):** $$\boxed{\begin{cases} x = 3 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = 3\lambda - 3 \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$