Probabilidad: Selección de bufandas y defectos

En primer lugar, definimos los sucesos del problema basándonos en la marca de la bufanda y su estado: - $A$: La bufanda elegida es de la marca $A$. - $B$: La bufanda elegida es de la marca $B$. - $C$: La bufanda elegida es de la marca $C$. - $D$: La bufanda es defectuosa. - $\bar{D}$: La bufanda no es defectuosa (correcta). Calculamos las probabilidades de elegir cada marca sabiendo que el total de bufandas es $200 + 150 + 50 = 400$: - $P(A) = \dfrac{200}{400} = 0,5$ - $P(B) = \dfrac{150}{400} = 0,375$ - $P(C) = \dfrac{50}{400} = 0,125$ Las probabilidades condicionadas dadas son: $P(D|A) = 0,01$, $P(D|B) = 0,02$ y $P(D|C) = 0,04$. Representamos la situación en un **árbol de probabilidades**:

**a) Calcula la probabilidad de que la bufanda elegida sea de la marca A o defectuosa.** Nos piden calcular la probabilidad de la unión de dos sucesos: $P(A \cup D)$. Aplicamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup D) = P(A) + P(D) - P(A \cap D)$$ 1. Calculamos primero la probabilidad total de que sea defectuosa $P(D)$: $$P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B) + P(C) \cdot P(D|C)$$ $$P(D) = 0,5 \cdot 0,01 + 0,375 \cdot 0,02 + 0,125 \cdot 0,04$$ $$P(D) = 0,005 + 0,0075 + 0,005 = 0,0175$$ 2. Calculamos la intersección $P(A \cap D)$, que es la probabilidad de que sea de la marca A y defectuosa: $$P(A \cap D) = P(A) \cdot P(D|A) = 0,5 \cdot 0,01 = 0,005$$ 3. Sustituimos en la fórmula de la unión: $$P(A \cup D) = 0,5 + 0,0175 - 0,005 = 0,5125$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. No olvides restar la intersección para no contar dos veces el mismo caso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup D) = 0,5125}$$

**b) Calcula la probabilidad de que la bufanda elegida no sea defectuosa ni de la marca C.** El suceso "no sea defectuosa ni de la marca C" se traduce como la intersección de no ser defectuosa y no ser de C: $P(\bar{D} \cap \bar{C})$. Si la bufanda no es de la marca $C$, debe ser necesariamente de la marca $A$ o de la marca $B$. Por tanto, buscamos la probabilidad de que sea de la marca $A$ y no defectuosa, o de la marca $B$ y no defectuosa: $$P(\bar{D} \cap \bar{C}) = P(A \cap \bar{D}) + P(B \cap \bar{D})$$ Calculamos cada término usando las ramas del árbol: - $P(A \cap \bar{D}) = P(A) \cdot P(\bar{D}|A) = 0,5 \cdot 0,99 = 0,495$ - $P(B \cap \bar{D}) = P(B) \cdot P(\bar{D}|B) = 0,375 \cdot 0,98 = 0,3675$ Sumamos ambos resultados: $$P(\bar{D} \cap \bar{C}) = 0,495 + 0,3675 = 0,8625$$ 💡 **Tip:** El suceso "ni uno ni otro" se representa matemáticamente como la intersección de los complementarios: $\bar{D} \cap \bar{C}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{D} \cap \bar{C}) = 0,8625}$$

**c) Si la bufanda elegida no es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca B?** Se trata de una probabilidad condicionada. Queremos hallar $P(B|\bar{D})$. Aplicamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(B|\bar{D}) = \frac{P(B \cap \bar{D})}{P(\bar{D})}$$ 1. Ya conocemos $P(B \cap \bar{D})$ del apartado anterior: $$P(B \cap \bar{D}) = 0,3675$$ 2. Calculamos $P(\bar{D})$, la probabilidad de que la bufanda no sea defectuosa, usando el complementario de $P(D)$ hallado en el apartado a): $$P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0,0175 = 0,9825$$ 3. Sustituimos los valores: $$P(B|\bar{D}) = \frac{0,3675}{0,9825} \approx 0,3740$$ Si lo expresamos en forma de fracción exacta: $$P(B|\bar{D}) = \frac{3675}{9825} = \frac{147}{393} = \frac{49}{131}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza cuando queremos calcular la probabilidad de una "causa" (marca B) dado un "efecto" observado (no ser defectuosa). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|\bar{D}) = \frac{49}{131} \approx 0,3740}$$