Geometría en el espacio: Coplanaridad, posiciones relativas y simetría

**a) Determina el valor de $\lambda$ para que los puntos $A(3,0,-1)$, $B(2,2,-1)$, $C(1,-2,-5)$ y $D(\lambda,6,-1)$ sean coplanarios y calcula la ecuación implícita o general del plano que los contiene. (3 puntos)** Cuatro puntos son coplanarios si los vectores formados entre ellos son linealmente dependientes. Definimos los vectores partiendo del punto $A$: $$\vec{AB} = (2-3, 2-0, -1-(-1)) = (-1, 2, 0)$$ $$\vec{AC} = (1-3, -2-0, -5-(-1)) = (-2, -2, -4)$$ $$\vec{AD} = (\lambda-3, 6-0, -1-(-1)) = (\lambda-3, 6, 0)$$ Para que sean coplanarios, el determinante de la matriz formada por estos tres vectores debe ser cero: $$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -2 & -2 & -4 \\ \lambda-3 & 6 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Resolvemos por Sarrus: $$[(-1)(-2)(0) + (2)(-4)(\lambda-3) + (0)(-2)(6)] - [(\lambda-3)(-2)(0) + (6)(-4)(-1) + (0)(-2)(2)] = 0$$ $$[0 - 8(\lambda-3) + 0] - [0 + 24 + 0] = 0$$ $$-8\lambda + 24 - 24 = 0 \implies -8\lambda = 0 \implies \lambda = 0$$ 💡 **Tip:** Tres vectores son coplanarios si su producto mixto es cero. El determinante representa el volumen del paralelepípedo que forman; si es cero, están en el mismo plano. ✅ **Valor de $\lambda$:** $$\boxed{\lambda = 0}$$

Para hallar el plano que contiene a los puntos, usamos un punto (por ejemplo $A(3,0,-1)$) y dos vectores directores del plano ($\vec{AB}$ y $\vec{AC}$). Primero, calculamos el vector normal $\vec{n}$ mediante el producto vectorial: $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -2 & -2 & -4 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = \vec{i}(-8-0) - \vec{j}(4-0) + \vec{k}(2+4) = (-8, -4, 6)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por $-2$ para obtener $\vec{n}' = (4, 2, -3)$. La ecuación del plano será $4x + 2y - 3z + D = 0$. Sustituimos el punto $A(3, 0, -1)$: $$4(3) + 2(0) - 3(-1) + D = 0 \implies 12 + 3 + D = 0 \implies D = -15$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector normal $(A, B, C)$ define los coeficientes de la ecuación implícita $Ax + By + Cz + D = 0$. ✅ **Ecuación del plano:** $$\boxed{4x + 2y - 3z - 15 = 0}$$

**b) Determina la posición relativa del plano $\pi: 4x + 2y - 3z - 15 = 0$ y la recta $r$ que pasa por los puntos $P(-4,4,2)$ y $Q(4,8,-4)$. Si se cortan, calcula el punto de corte.** Primero hallamos el vector director de la recta $r$: $$\vec{v}_r = \vec{PQ} = (4 - (-4), 8 - 4, -4 - 2) = (8, 4, -6)$$ El vector normal del plano $\pi$ es $\vec{n}_\pi = (4, 2, -3)$. Observamos la relación entre $\vec{v}_r$ y $\vec{n}_\pi$: $$\vec{v}_r = (8, 4, -6) = 2 \cdot (4, 2, -3) = 2 \cdot \vec{n}_\pi$$ Como el vector director de la recta es paralelo al vector normal del plano, la recta es **perpendicular** al plano. Por tanto, se cortan en un único punto. 💡 **Tip:** Si el vector director de la recta es perpendicular al normal del plano (producto escalar cero), la recta es paralela o está contenida. Si son paralelos (proporcionales), la recta es perpendicular al plano. ✅ **Posición relativa:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ es perpendicular al plano } \pi}$$

Escribimos la ecuación paramétrica de la recta $r$ usando el punto $P(-4, 4, 2)$ y el vector $\vec{v}_r = (8, 4, -6)$: $$r: \begin{cases} x = -4 + 8k \\ y = 4 + 4k \\ z = 2 - 6k \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi: 4x + 2y - 3z - 15 = 0$: $$4(-4 + 8k) + 2(4 + 4k) - 3(2 - 6k) - 15 = 0$$ $$-16 + 32k + 8 + 8k - 6 + 18k - 15 = 0$$ $$58k - 29 = 0 \implies k = \frac{29}{58} = \frac{1}{2}$$ Sustituimos $k = 1/2$ en las paramétricas de $r$ para hallar el punto $M$: $$x = -4 + 8(1/2) = 0$$ $$y = 4 + 4(1/2) = 6$$ $$z = 2 - 6(1/2) = -1$$ ✅ **Punto de corte:** $$\boxed{M(0, 6, -1)}$$

**c) Calcula el punto simétrico del punto $P(-4,4,2)$ respecto del plano $\pi: 4x + 2y - 3z - 15 = 0$.** El punto simétrico $P'$ es tal que el punto de corte $M$ calculado en el apartado anterior es el punto medio del segmento $PP'$. Sea $P'(x', y', z')$. La fórmula del punto medio es: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies (0, 6, -1) = \left( \frac{-4 + x'}{2}, \frac{4 + y'}{2}, \frac{2 + z'}{2} \right)$$ Igualamos componente a componente: 1. $0 = \frac{-4 + x'}{2} \implies x' = 4$ 2. $6 = \frac{4 + y'}{2} \implies 12 = 4 + y' \implies y' = 8$ 3. $-1 = \frac{2 + z'}{2} \implies -2 = 2 + z' \implies z' = -4$ Observamos que el punto obtenido es exactamente el punto $Q$ dado en el enunciado del apartado b. 💡 **Tip:** Para hallar el simétrico de un punto respecto a un plano: 1) Hallar la recta perpendicular al plano que pasa por el punto. 2) Hallar la intersección $M$ de esa recta con el plano. 3) Usar que $M$ es el punto medio. ✅ **Punto simétrico:** $$\boxed{P'(4, 8, -4)}$$