Estudio de funciones, extremos y áreas

**2.a) Calcula: intervalos de crecimiento y decrecimiento y máximos y mínimos relativos de $f(x) = \frac{x-1}{x^2}$ (3 puntos)** Primero, determinamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los reales excepto los valores que anulan el denominador: $$x^2 = 0 \implies x = 0$$ $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$ Para estudiar el crecimiento y los extremos, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(1) \cdot x^2 - (x-1) \cdot (2x)}{(x^2)^2} = \frac{x^2 - 2x^2 + 2x}{x^4} = \frac{-x^2 + 2x}{x^4}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por $x$ (ya que $x \neq 0$): $$f'(x) = \frac{x(-x + 2)}{x^4} = \frac{-x + 2}{x^3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Los puntos críticos aparecen donde $f'(x) = 0$: $$\frac{-x + 2}{x^3} = 0 \implies -x + 2 = 0 \implies x = 2$$ Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y el punto crítico: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ y $(2, +\infty)$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline -x+2 & + & + & + & 0 & - \\ x^3 & - & 0 & + & + & + \\ \hline f'(x) & - & \nexists & + & 0 & - \\ \text{Función} & \searrow & \nexists & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$: $f'(x) < 0 \implies$ **Decreciente**. - En $(0, 2)$: $f'(x) > 0 \implies$ **Creciente**. - En $(2, +\infty)$: $f'(x) < 0 \implies$ **Decreciente**. $$\boxed{\text{Creciente: } (0, 2) \quad \text{Decreciente: } (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)}$$

A partir de la tabla anterior, observamos que en $x = 2$ la función pasa de crecer a decrecer, por lo que existe un **máximo relativo**. Calculamos la coordenada $y$ del máximo: $$f(2) = \frac{2 - 1}{2^2} = \frac{1}{4}$$ No existen mínimos relativos en el dominio de la función. ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } \left(2, \frac{1}{4}\right)}$$

**b) Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola $y = x^2 - 4x$ y la recta $y = x - 4$. (Para el dibujo de la parábola, indica: puntos de corte con los ejes, el vértice y concavidad o convexidad).** Analizamos la parábola $y = x^2 - 4x$: 1. **Corte con los ejes:** - Eje $X$ ($y=0$): $x^2 - 4x = 0 \implies x(x-4) = 0 \implies x=0, x=4$. Puntos: $(0,0)$ y $(4,0)$. - Eje $Y$ ($x=0$): $y = 0^2 - 4(0) = 0$. Punto: $(0,0)$. 2. **Vértice ($V$):** - $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2(1)} = 2$. - $y_v = f(2) = 2^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$. - $V(2, -4)$. 3. **Curvatura:** - Como $a = 1 > 0$, la parábola es **convexa** ($\cup$). 💡 **Tip:** El vértice de una parábola $ax^2+bx+c$ siempre tiene $x = -b/2a$.

Para hallar la región, calculamos los puntos de corte entre la parábola y la recta: $$x^2 - 4x = x - 4 \implies x^2 - 5x + 4 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \implies x_1 = 1, x_2 = 4$$ Los límites de integración serán $x=1$ y $x=4$. En este intervalo, la recta está por encima de la parábola (por ejemplo, en $x=2$, la recta vale $2-4=-2$ y la parábola $-4$). El área se calcula como: $$A = \int_{1}^{4} [\text{recta} - \text{parábola}] \, dx = \int_{1}^{4} [(x-4) - (x^2-4x)] \, dx$$ $$A = \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) \, dx$$

Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$\int (-x^2 + 5x - 4) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x \right]_{1}^{4}$$ Evaluamos en los límites: - Para $x=4$: $-\frac{64}{3} + \frac{5(16)}{2} - 4(4) = -\frac{64}{3} + 40 - 16 = -\frac{64}{3} + 24 = \frac{-64+72}{3} = \frac{8}{3}$ - Para $x=1$: $-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 = \frac{-2+15-24}{6} = -\frac{11}{6}$ Restamos los valores: $$A = \frac{8}{3} - \left(-\frac{11}{6}\right) = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4,5$$ ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{\text{Área } = 4,5 \text{ unidades}^2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "y = x^2 - 4x", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "y = x - 4", "color": "#ef4444" }, { "id": "reg", "latex": "x^2 - 4x \\le y \\le x - 4 \\{1 \\le x \\le 4\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 6, "bottom": -5, "top": 2 } } }