Inversa de una matriz con parámetros y ecuación matricial

**1.a) Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} m & m+4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, calcula los valores de $m$ para que la matriz inversa de $M$ sea $\frac{1}{4}M$. (2 puntos)** La condición del enunciado nos dice que $M^{-1} = \frac{1}{4}M$. Para evitar el cálculo directo de la matriz inversa (que implicaría dividir por el determinante y trabajar con fracciones), utilizaremos la definición de matriz inversa: $M \cdot M^{-1} = I$, donde $I$ es la matriz identidad. Multiplicando ambos miembros de la condición por $M$ por la izquierda: $$M \cdot M^{-1} = M \cdot \left(\frac{1}{4}M\right) \implies I = \frac{1}{4}M^2$$ Multiplicando por 4, la condición es equivalente a: $$M^2 = 4I$$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas una ecuación del tipo $M^{-1} = k \cdot M$, es mucho más sencillo operar como $M^2 = \frac{1}{k}I$ para evitar trabajar con la matriz inversa explícita.

Calculamos $M^2$ realizando el producto de la matriz $M$ por sí misma: $$M^2 = \begin{pmatrix} m & m+4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m & m+4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto fila por columna: - Elemento $(1,1)$: $m \cdot m + (m+4) \cdot 1 = m^2 + m + 4$ - Elemento $(1,2)$: $m \cdot (m+4) + (m+4) \cdot 1 = m^2 + 4m + m + 4 = m^2 + 5m + 4$ - Elemento $(2,1)$: $1 \cdot m + 1 \cdot 1 = m + 1$ - Elemento $(2,2)$: $1 \cdot (m+4) + 1 \cdot 1 = m + 4 + 1 = m + 5$ Por tanto: $$M^2 = \begin{pmatrix} m^2+m+4 & m^2+5m+4 \\ m+1 & m+5 \end{pmatrix}$$

Igualamos $M^2$ a la matriz $4I = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$: $$\begin{pmatrix} m^2+m+4 & m^2+5m+4 \\ m+1 & m+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$$ Esto nos genera un sistema de cuatro ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente: 1. $m^2 + m + 4 = 4 \implies m^2 + m = 0 \implies m(m+1) = 0 \implies m=0, m=-1$ 2. $m^2 + 5m + 4 = 0 \implies (m+1)(m+4) = 0 \implies m=-1, m=-4$ 3. $m + 1 = 0 \implies m = -1$ 4. $m + 5 = 4 \implies m = -1$ El único valor que satisface todas las ecuaciones al mismo tiempo es **$m = -1$**. Finalmente, comprobamos que para $m=-1$ existe la matriz inversa (el determinante debe ser distinto de cero): $|M| = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 3 = -4 \neq 0$. Como el determinante es no nulo, la inversa existe. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = -1}$$

**b) Dadas las matrices $A = (-1 \quad 0 \quad 1)$, $B = (3 \quad 0 \quad 1)$ y $C = (4 \quad -2 \quad 0)$, calcula la matriz $X$ que verifica: $B^t \cdot A \cdot X + C^t = X$, siendo $B^t$ y $C^t$ las traspuestas de $B$ y $C$ respectivamente.** Primero analizamos las dimensiones: - $A$, $B$ y $C$ son matrices de dimensión $1 \times 3$. - $B^t$ y $C^t$ son matrices de dimensión $3 \times 1$. - El producto $B^t \cdot A$ es una matriz $(3 \times 1) \cdot (1 \times 3) = 3 \times 3$. - Por tanto, para que la ecuación tenga sentido, $X$ debe ser una matriz de dimensión $3 \times 1$. Despejamos $X$ en la ecuación: $$B^t A X + C^t = X$$ $$C^t = X - B^t A X$$ Sacamos factor común $X$ por la derecha (recordando que $X = I \cdot X$): $$C^t = (I - B^t A) X$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden del producto es fundamental. Si sacas factor común $X$ y estaba a la derecha, debe quedar a la derecha: $X - AX = (I-A)X$.

Calculamos el producto $B^t \cdot A$: $$B^t A = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos la matriz $(I - B^t A)$: $$I - B^t A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Sustituimos en la ecuación $(I - B^t A) X = C^t$. Sea $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$: $$\begin{pmatrix} 4 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Obtenemos el sistema de ecuaciones: 1. $4x - 3z = 4$ 2. $y = -2$ 3. $x = 0$ Sustituyendo $x=0$ en la primera ecuación: $4(0) - 3z = 4 \implies -3z = 4 \implies z = -\frac{4}{3}$ Por lo tanto, la matriz $X$ es: $$X = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -4/3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -\dfrac{4}{3} \end{pmatrix}}$$