Probabilidad total y Teorema de Bayes en producción de piezas

**a) Calcula la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa.** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $A$: La pieza ha sido fabricada por la máquina A. - $B$: La pieza ha sido fabricada por la máquina B. - $C$: La pieza ha sido fabricada por la máquina C. - $D$: La pieza es defectuosa. - $\bar{D}$: La pieza no es defectuosa (correcta). Como las tres máquinas producen la misma cantidad de piezas, las probabilidades de elegir una pieza de cada máquina son iguales: $$P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}$$ Las probabilidades condicionadas dadas por el enunciado son: - $P(D|A) = 0.02 \implies P(\bar{D}|A) = 0.98$ - $P(D|B) = 0.04 \implies P(\bar{D}|B) = 0.96$ - $P(D|C) = 0.05 \implies P(\bar{D}|C) = 0.95$ Representamos esta información en un diagrama de árbol:

Para calcular la probabilidad de que una pieza sea defectuosa $P(D)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B) + P(C) \cdot P(D|C)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(D) = \left(\frac{1}{3} \cdot 0.02\right) + \left(\frac{1}{3} \cdot 0.04\right) + \left(\frac{1}{3} \cdot 0.05\right)$$ $$P(D) = \frac{1}{3} \cdot (0.02 + 0.04 + 0.05) = \frac{1}{3} \cdot 0.11 = \frac{0.11}{3}$$ $$P(D) \approx 0.0367$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (ser defectuosa) puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes (máquina A, B o C). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(D) = \frac{11}{300} \approx 0.0367}$$

**b) Si se elige una pieza al azar y resulta que no es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que fuera fabricada por la máquina A?** En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori, es decir, sabiendo que ha ocurrido el suceso $\bar{D}$ (no defectuosa), queremos saber la probabilidad de que proceda de A: $P(A|\bar{D})$. Primero, calculamos la probabilidad de que la pieza **no** sea defectuosa utilizando el suceso contrario: $$P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - \frac{11}{300} = \frac{289}{300}$$ $$P(\bar{D}) \approx 0.9633$$ Alternativamente, también se podría calcular sumando las ramas del árbol que terminan en $\bar{D}$.

Para hallar $P(A|\bar{D})$ aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(A|\bar{D}) = \frac{P(A) \cdot P(\bar{D}|A)}{P(\bar{D})}$$ Sabemos que $P(\bar{D}|A) = 1 - 0.02 = 0.98$. Sustituimos en la fórmula: $$P(A|\bar{D}) = \frac{\frac{1}{3} \cdot 0.98}{\frac{289}{300}}$$ Simplificamos la expresión: $$P(A|\bar{D}) = \frac{\frac{0.98}{3}}{\frac{289}{300}} = \frac{0.98 \cdot 300}{3 \cdot 289} = \frac{98}{289} \approx 0.3391$$ 💡 **Tip:** Bayes se utiliza para "recorrer el árbol hacia atrás": conocemos el resultado final y queremos saber la probabilidad de una de las causas originales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|\bar{D}) = \frac{98}{289} \approx 0.3391}$$