Posición relativa de rectas, plano que las contiene y distancias

**a) Estudia la posición relativa de las rectas $r$ y $s$. Calcula, si se cortan, el punto de corte.** Primero, extraemos un punto y un vector director de cada recta: **Para la recta $r$:** Pasa por $P(9,4,1)$ y $Q(1,1,1)$. - Punto: $Q(1,1,1)$ - Vector director: $\vec{v}_r = \vec{PQ} = (1-9, 1-4, 1-1) = (-8, -3, 0)$. Para simplificar los cálculos, podemos usar $\vec{v}_r = (8, 3, 0)$. **Para la recta $s$:** Su ecuación es $\frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z-5}{-1}$. - Punto: $P_s(1, 0, 5)$ - Vector director: $\vec{v}_s = (2, 1, -1)$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta en forma continua está dado por los denominadores, y el punto por los valores que restan a $x, y, z$ en el numerador.

Para determinar la posición relativa, analizamos si los vectores directores son paralelos y calculamos el determinante formado por $\vec{v}_r$, $\vec{v}_s$ y el vector que une un punto de cada recta $\vec{QP_s}$. 1. **¿Son paralelas?** Comparamos sus componentes: $\frac{8}{2} \neq \frac{3}{1}$. No son proporcionales, por lo que las rectas **se cortan o se cruzan**. 2. **Análisis de coplanariedad:** Calculamos $\vec{QP_s} = (1-1, 0-1, 5-1) = (0, -1, 4)$. Calculamos el determinante de la matriz formada por los tres vectores: $$\text{det}(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{QP_s}) = \begin{vmatrix} 8 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 4 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$= [8 \cdot 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-1) \cdot 0 + 2 \cdot (-1) \cdot 0] - [0 \cdot 1 \cdot 0 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 8 \cdot (-1) \cdot (-1)]$$ $$= [32 + 0 + 0] - [0 + 24 + 8] = 32 - 32 = 0$$ Como el determinante es **0**, los vectores son linealmente dependientes (coplanarios). Al no ser paralelas, las rectas **se cortan en un punto**. ✅ **Resultado (posición relativa):** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cortan}}$$

Para hallar el punto de corte, escribimos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas: $$r: \begin{cases} x = 1 + 8\lambda \\ y = 1 + 3\lambda \\ z = 1 \end{cases}$$ Sustituimos estos valores en la ecuación de la recta $s$: $$\frac{(1+8\lambda)-1}{2} = \frac{1+3\lambda}{1} = \frac{1-5}{-1}$$ $$\frac{8\lambda}{2} = 1+3\lambda = 4$$ De la primera igualdad: $4\lambda = 1 + 3\lambda \implies \lambda = 1$. Sustituimos $\lambda = 1$ en las paramétricas de $r$: $$x = 1 + 8(1) = 9$$ $$y = 1 + 3(1) = 4$$ $$z = 1$$ Coincide con el punto $P$ dado en el enunciado. ✅ **Resultado (punto de corte):** $$\boxed{P(9, 4, 1)}$$

**b) Calcula, si existe, la ecuación implícita o general del plano que contiene las rectas $r$ y $s$.** Como las rectas se cortan, existe un único plano $\pi$ que las contiene. El plano pasará por el punto de corte $P(9,4,1)$ y tendrá como vectores directores $\vec{v}_r = (8,3,0)$ y $\vec{v}_s = (2,1,-1)$. Calculamos el vector normal $\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{v}_s$: $$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 8 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i} \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 8 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = \vec{i}(-3-0) - \vec{j}(-8-0) + \vec{k}(8-6) = (-3, 8, 2)$$ La ecuación general es $-3x + 8y + 2z + D = 0$. Sustituimos el punto $P(9,4,1)$: $$-3(9) + 8(4) + 2(1) + D = 0 \implies -27 + 32 + 2 + D = 0 \implies 7 + D = 0 \implies D = -7$$ Multiplicando por $-1$ para obtener coeficientes positivos si se desea: $3x - 8y - 2z + 7 = 0$. ✅ **Resultado (ecuación del plano):** $$\boxed{3x - 8y - 2z + 7 = 0}$$

**c) Calcula la distancia del punto $O(0,0,0)$ a la recta $s$.** La fórmula de la distancia de un punto $O$ a una recta $s$ definida por un punto $P_s$ y un vector $\vec{v}_s$ es: $$d(O, s) = \frac{|\vec{OP_s} \times \vec{v}_s|}{|\vec{v}_s|}$$ Tenemos $O(0,0,0)$, $P_s(1,0,5)$ y $\vec{v}_s(2,1,-1)$. - Vector $\vec{OP_s} = (1, 0, 5)$. - Producto vectorial $\vec{OP_s} \times \vec{v}_s$: $$\vec{OP_s} \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 5 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0-5) - \vec{j}(-1-10) + \vec{k}(1-0) = (-5, 11, 1)$$ - Módulo del producto vectorial: $$|\vec{OP_s} \times \vec{v}_s| = \sqrt{(-5)^2 + 11^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 121 + 1} = \sqrt{147}$$ - Módulo del vector director: $$|\vec{v}_s| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$$ Calculamos la distancia: $$d(O, s) = \frac{\sqrt{147}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{147}{6}} = \sqrt{\frac{49}{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto vectorial en el numerador representa el área del paralelogramo formado por los vectores, y al dividir por la base (módulo del vector director) obtenemos la altura, que es la distancia buscada. ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(O,s) = \frac{7\sqrt{2}}{2} \approx 4,95 \text{ u.}}$$