Límites con parámetros, cálculo de coeficientes e integración por partes

**a) Calcula, si existe, el valor de $m$ para que $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x + mx^2 - 1}{\text{sen}(x^2)} = 3$ (3 puntos)** Primero, evaluamos el límite directamente para comprobar si hay una indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(0) + m(0)^2 - 1}{\text{sen}(0^2)} = \frac{1 + 0 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$ Como tenemos una indeterminación de la forma $\frac{0}{0}$, podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x + mx^2 - 1}{\text{sen}(x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{(\cos 2x + mx^2 - 1)'}{(\text{sen}(x^2))'} = \lim_{x \to 0} \frac{-2\text{sen}(2x) + 2mx}{2x\cos(x^2)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para aplicar L'Hôpital, las funciones deben ser derivables en un entorno del punto y el límite de las derivadas debe existir o ser infinito.

Evaluamos de nuevo el límite obtenido: $$\lim_{x \to 0} \frac{-2\text{sen}(0) + 2m(0)}{2(0)\cos(0)} = \frac{0}{0}$$ Volvemos a aplicar la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to 0} \frac{(-2\text{sen}(2x) + 2mx)'}{(2x\cos(x^2))'} = \lim_{x \to 0} \frac{-4\cos(2x) + 2m}{2\cos(x^2) + 2x(-\text{sen}(x^2) \cdot 2x)}$$ Simplificamos la expresión del denominador: $$\lim_{x \to 0} \frac{-4\cos(2x) + 2m}{2\cos(x^2) - 4x^2\text{sen}(x^2)}$$ Ahora evaluamos el límite sustituyendo $x=0$: $$\frac{-4\cos(0) + 2m}{2\cos(0) - 4(0)^2\text{sen}(0)} = \frac{-4 + 2m}{2 - 0} = \frac{-4 + 2m}{2} = -2 + m$$ Para que el límite sea igual a 3, planteamos la ecuación: $$-2 + m = 3 \implies m = 5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 5}$$

**b) Calcula los valores de $a, b, c$ y $d$ para que la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ tenga un punto de inflexión en el punto $(0,5)$ y la tangente a su gráfica en el punto $(1,1)$ sea paralela al eje $X$.** Necesitamos hallar las derivadas de la función: $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ $f''(x) = 6ax + 2b$ Las condiciones del enunciado son: 1. Pasa por $(0,5) \implies f(0) = 5$ 2. Punto de inflexión en $x=0 \implies f''(0) = 0$ 3. Pasa por $(1,1) \implies f(1) = 1$ 4. Tangente horizontal en $x=1$ (paralela al eje $X$) \implies f'(1) = 0$ 💡 **Tip:** Un punto de inflexión anula la segunda derivada (si existe) y una recta tangente paralela al eje $X$ significa que su pendiente (la derivada) es cero.

Aplicamos las condiciones una a una: - De $f(0) = 5$: $a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 5 \implies \mathbf{d = 5}$ - De $f''(0) = 0$: $6a(0) + 2b = 0 \implies 2b = 0 \implies \mathbf{b = 0}$ Actualizamos la función y su derivada con estos valores: $f(x) = ax^3 + cx + 5$ $f'(x) = 3ax^2 + c$ - De $f(1) = 1$: $a(1)^3 + c(1) + 5 = 1 \implies a + c = -4$ - De $f'(1) = 0$: $3a(1)^2 + c = 0 \implies 3a + c = 0$ Resolvemos el sistema: $$\begin{cases} a + c = -4 \\ 3a + c = 0 \end{cases}$$ Restando la primera a la segunda: $(3a - a) + (c - c) = 0 - (-4) \implies 2a = 4 \implies \mathbf{a = 2}$ Sustituimos en $a + c = -4$: $2 + c = -4 \implies \mathbf{c = -6}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 2, b = 0, c = -6, d = 5}$$

**c) Calcula $\int_1^e \sqrt{x} \ln x dx$** Resolvemos primero la integral indefinida $\int \sqrt{x} \ln x dx$ usando el método de **integración por partes**. Elegimos las funciones según la regla ALPES (Logarítmicas antes que Potencias): - $u = \ln x \implies du = \frac{1}{x} dx$ - $dv = \sqrt{x} dx = x^{1/2} dx \implies v = \int x^{1/2} dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$ Aplicamos la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int \sqrt{x} \ln x dx = \frac{2}{3}x^{3/2} \ln x - \int \frac{2}{3}x^{3/2} \cdot \frac{1}{x} dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: "Un Día Vi Una Vaca Sin rabo Vestida De Uniforme" ($uv - \int v \, du$).

Simplificamos y resolvemos la integral restante: $$\int \frac{2}{3}x^{3/2} \cdot x^{-1} dx = \frac{2}{3} \int x^{1/2} dx = \frac{2}{3} \left( \frac{2}{3}x^{3/2} \right) = \frac{4}{9}x^{3/2}$$ La primitiva es: $$F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} \ln x - \frac{4}{9}x^{3/2} = \frac{2}{3}x\sqrt{x} \ln x - \frac{4}{9}x\sqrt{x}$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** entre 1 y $e$: $$\left[ \frac{2}{3}x\sqrt{x} \ln x - \frac{4}{9}x\sqrt{x} \right]_1^e$$ Evaluamos en $e$: $$F(e) = \frac{2}{3}e\sqrt{e} \ln e - \frac{4}{9}e\sqrt{e} = \frac{2}{3}e\sqrt{e} - \frac{4}{9}e\sqrt{e} = \left( \frac{6}{9} - \frac{4}{9} \right)e\sqrt{e} = \frac{2}{9}e\sqrt{e}$$ Evaluamos en 1: $$F(1) = \frac{2}{3}(1)\sqrt{1} \ln 1 - \frac{4}{9}(1)\sqrt{1} = 0 - \frac{4}{9} = -\frac{4}{9}$$ Restamos los valores: $$I = F(e) - F(1) = \frac{2}{9}e\sqrt{e} - \left( -\frac{4}{9} \right) = \frac{2e\sqrt{e} + 4}{9}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_1^e \sqrt{x} \ln x dx = \frac{2e\sqrt{e} + 4}{9}}$$