Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales

**a) Discute, según los valores del parámetro $m$, el sistema de ecuaciones: $\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ x - z = m \\ x + y - z = 1 \end{cases}$ (2 puntos)** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & m \\ 1 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**, por lo que debemos calcular y comparar los rangos de ambas matrices según el parámetro $m$.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = [1 \cdot 0 \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \cdot 1] - [(-1) \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot (-1)]$$ $$|A| = [0 - 2 - 1] - [0 - 1 - 2] = -3 - (-3) = 0$$ Como el determinante es $0$, el rango de $A$ no puede ser $3$. Buscamos un menor de orden $2$ distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2 \neq 0$$ Al existir un menor de orden $2$ no nulo, concluimos que: $$\boxed{rg(A) = 2}$$ 💡 **Tip:** Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es cero, el rango es menor que $3$. Si encuentras una submatriz $2 \times 2$ con determinante distinto de cero, el rango es exactamente $2$.

Para determinar el rango de $A^*$, tomamos el menor de orden $2$ no nulo que encontramos en $A$ y lo orlamos con la columna de términos independientes: $$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & m \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos su valor por Sarrus: $$\Delta = [1 \cdot 0 \cdot 1 + 2 \cdot m \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1] - [1 \cdot 0 \cdot 1 + m \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 1]$$ $$\Delta = [0 + 2m + 1] - [0 + m + 2] = 2m + 1 - m - 2 = m - 1$$ Analizamos cuándo este determinante es cero: $$m - 1 = 0 \implies m = 1$$ - Si **$m \neq 1$**, el determinante de este menor de orden $3$ es distinto de cero, por lo que $\mathbf{rg(A^*) = 3}$. - Si **$m = 1$**, todas las columnas de $A^*$ son linealmente dependientes de las dos primeras (ya que el determinante de $A$ también era $0$), por lo que $\mathbf{rg(A^*) = 2}$.

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Capelli** para clasificar el sistema según los valores de $m$: - **Caso 1: $m \neq 1$** $$rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3$$ El sistema es **Incompatible (S.I.)**, no tiene solución. - **Caso 2: $m = 1$** $$rg(A) = 2 = rg(A^*) \lt \text{nº incógnitas (3)}$$ El sistema es **Compatible Indeterminado (S.C.I.)**, tiene infinitas soluciones. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\text{Si } m \neq 1, \text{ S.I.; si } m = 1, \text{ S.C.I.}}$$

**b) Resuélvelo, si es posible, cuando $m = 1$.** Para $m = 1$, el sistema es compatible indeterminado. Como $rg(A) = 2$, podemos eliminar una ecuación que sea combinación lineal de las otras. Usaremos las dos primeras ecuaciones y trataremos una incógnita como parámetro. El sistema reducido es: $$\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ x - z = 1 \end{cases}$$ Tomamos **$z = \lambda$** ($ \lambda \in \mathbb{R}$): 1. De la segunda ecuación: $x - \lambda = 1 \implies \mathbf{x = 1 + \lambda}$ 2. Sustituimos en la primera ecuación: $$(1 + \lambda) + 2y - \lambda = 1 \implies 1 + 2y = 1 \implies 2y = 0 \implies \mathbf{y = 0}$$ Comprobamos en la tercera ecuación original ($x+y-z=1$): $$(1+\lambda) + 0 - \lambda = 1 \implies 1 = 1$$ La solución es coherente. ✅ **Resultado (Resolución):** $$\boxed{\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 0 \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$