Distribuciones Binomial y Normal

**a) Si hacemos 5 extracciones, calcula la probabilidad de que el 7 salga menos de dos veces.** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como el número de veces que sale la bola con el número 7 en 5 extracciones. Como cada extracción es independiente (se devuelve la bola al bombo) y la probabilidad de éxito (sacar un 7) es constante, estamos ante una **distribución binomial**: - Número de ensayos: $n = 5$. - Probabilidad de éxito (sacar un 7): $p = \dfrac{1}{10} = 0.1$. - Probabilidad de fracaso (no sacar un 7): $q = 1 - p = 0.9$. Por tanto, $X \sim B(5, 0.1)$. 💡 **Tip:** Una distribución binomial $B(n, p)$ se aplica cuando tenemos $n$ experimentos independientes con dos resultados posibles (éxito o fracaso).

Se nos pide la probabilidad de que el 7 salga menos de dos veces, es decir, $P(X \lt 2)$. En una distribución discreta, $P(X \lt 2) = P(X = 0) + P(X = 1)$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad binomial $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$: 1. Para $k = 0$: $$P(X = 0) = \binom{5}{0} (0.1)^0 (0.9)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.59049 = 0.59049$$ 2. Para $k = 1$: $$P(X = 1) = \binom{5}{1} (0.1)^1 (0.9)^4 = 5 \cdot 0.1 \cdot 0.6561 = 0.32805$$ Sumamos ambos resultados: $$P(X \lt 2) = 0.59049 + 0.32805 = 0.91854$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(X \lt 2) = 0.91854}$$

**b) Si hacemos 100 extracciones, calcula la probabilidad de que el 7 salga menos de nueve veces.** Ahora realizamos $n = 100$ extracciones. Nuestra nueva variable es $Y \sim B(100, 0.1)$. Calcular $P(Y \lt 9)$ sumando probabilidades puntuales ($P(Y=0) + ... + P(Y=8)$) sería muy laborioso. Comprobamos si podemos aproximar por una **distribución normal**: - $n \cdot p = 100 \cdot 0.1 = 10 \ge 5$ - $n \cdot q = 100 \cdot 0.9 = 90 \ge 5$ Como se cumplen ambas condiciones, podemos aproximar $Y$ por una normal $Y' \sim N(\mu, \sigma)$ donde: - $\mu = n \cdot p = 10$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{100 \cdot 0.1 \cdot 0.9} = \sqrt{9} = 3$ Por tanto, $Y \sim B(100, 0.1) \approx Y' \sim N(10, 3)$. 💡 **Tip:** Cuando $n$ es grande y $n \cdot p \ge 5$, la distribución binomial se comporta de forma similar a una normal.

Queremos calcular $P(Y \lt 9)$. Al pasar de una variable discreta ($Y$) a una continua ($Y'$), debemos aplicar la **corrección de continuidad de Yates**. $P(Y \lt 9)$ es lo mismo que $P(Y \le 8)$. Al aplicar la corrección, tomamos el límite superior del intervalo de la unidad: $$P(Y \le 8) \approx P(Y' \le 8.5)$$ Ahora **tipificamos** la variable para usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \dfrac{Y' - \mu}{\sigma}$: $$P(Y' \le 8.5) = P\left(Z \le \frac{8.5 - 10}{3}\right) = P\left(Z \le \frac{-1.5}{3}\right) = P(Z \le -0.5)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al aproximar una discreta por una continua, un punto $k$ se convierte en el intervalo $[k-0.5, k+0.5]$.

Para calcular $P(Z \le -0.5)$, usamos las propiedades de simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \le -0.5) = P(Z \ge 0.5) = 1 - P(Z \le 0.5)$$ Buscamos en la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$ el valor para $0.5$: $$P(Z \le 0.5) = 0.6915$$ Realizamos la resta final: $$P(Y \lt 9) \approx 1 - 0.6915 = 0.3085$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(Y \lt 9) \approx 0.3085}$$