Geometría en el espacio: Rectas, planos y distancias

**a) Calcula la ecuación implícita o general del plano que pasa por el punto $A(1,1,1)$ y es perpendicular a $r$.** Para resolver cualquier apartado que involucre a la recta $r$, primero necesitamos conocer su dirección. La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Su vector director $\vec{v}_r$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: Planos: $\pi_1: x + y + z - 2 = 0$ y $\pi_2: x - y + z - 2 = 0$. Vectores normales: $\vec{n}_1 = (1, 1, 1)$ y $\vec{n}_2 = (1, -1, 1)$. Calculamos el producto vectorial: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_r = \vec{i}(1 \cdot 1) + \vec{j}(1 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot (-1)) - [ \vec{k}(1 \cdot 1) + \vec{i}(1 \cdot (-1)) + \vec{j}(1 \cdot 1) ]$$ $$\vec{v}_r = \vec{i} + \vec{j} - \vec{k} - [ \vec{k} - \vec{i} + \vec{j} ] = 2\vec{i} + 0\vec{j} - 2\vec{k} = (2, 0, -2)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por 2: $$\vec{v}_r = (1, 0, -1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por dos planos es perpendicular a ambos vectores normales, por eso usamos el producto vectorial.

Si el plano $\pi_a$ es perpendicular a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ será el vector normal del plano $\vec{n}_{\pi_a}$. Por tanto, $\vec{n}_{\pi_a} = (1, 0, -1)$. La ecuación del plano tendrá la forma: $$1x + 0y - 1z + D = 0 \implies x - z + D = 0$$ Como el plano pasa por el punto $A(1, 1, 1)$, sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$1 - 1 + D = 0 \implies D = 0$$ La ecuación general del plano es: $$\boxed{x - z = 0}$$

**b) Calcula la ecuación implícita o general del plano que pasa por los puntos $P(-1,0,6)$ y $Q(3,-2,4)$ y es paralelo a la recta $r$.** Un plano $\pi_b$ queda determinado por un punto y dos vectores directores (no paralelos). En este caso: 1. Pasa por $P(-1, 0, 6)$. 2. Contiene al vector $\vec{PQ} = Q - P = (3 - (-1), -2 - 0, 4 - 6) = (4, -2, -2)$. Podemos simplificarlo a $(2, -1, -1)$. 3. Es paralelo a $r$, por lo que su vector director $\vec{v}_r = (1, 0, -1)$ es también un vector director del plano. Para obtener el vector normal del plano $\vec{n}_{\pi_b}$, calculamos el producto vectorial de sus dos vectores directores: $$\vec{n}_{\pi_b} = \vec{PQ} \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_{\pi_b} = \vec{i}(1) - \vec{j}(-2 - (-1)) + \vec{k}(0 - (-1)) = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k} = (1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** Si un plano es paralelo a una recta, el vector director de la recta se comporta como un vector contenido en la dirección del plano.

Con el vector normal $\vec{n}_{\pi_b} = (1, 1, 1)$, la ecuación general es: $$x + y + z + D = 0$$ Sustituimos el punto $P(-1, 0, 6)$ para calcular $D$: $$-1 + 0 + 6 + D = 0 \implies 5 + D = 0 \implies D = -5$$ La ecuación implícita del plano es: $$\boxed{x + y + z - 5 = 0}$$

**c) Calcula la distancia de la recta $r$ al plano $x + y + z - 5 = 0$.** Denominamos al plano $\pi: x + y + z - 5 = 0$. Su vector normal es $\vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$. Primero comprobamos la posición relativa de la recta $r$ respecto al plano $\pi$. Calculamos el producto escalar del vector director de la recta $\vec{v}_r = (1, 0, -1)$ y el normal del plano: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (1, 0, -1) \cdot (1, 1, 1) = 1 + 0 - 1 = 0$$ Como el producto escalar es 0, la recta es paralela al plano o está contenida en él. Para distinguir ambos casos, tomamos un punto de la recta $R$. Buscamos un punto de $r$ resolviendo el sistema original: $$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x - y + z = 2 \end{cases}$$ Sumando las ecuaciones: $2x + 2z = 4 \implies x + z = 2$. Si hacemos $z = 0$, entonces $x = 2$. Sustituyendo en la primera: $2 + y + 0 = 2 \implies y = 0$. El punto es $R(2, 0, 0)$. Comprobamos si $R$ pertenece al plano $\pi$: $$2 + 0 + 0 - 5 = -3 \neq 0$$ Como el punto no pertenece al plano, la recta es **estrictamente paralela** al plano.

La distancia de una recta paralela a un plano es igual a la distancia de cualquier punto de la recta al plano: $$d(r, \pi) = d(R, \pi)$$ Usamos la fórmula de la distancia de un punto $R(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos $R(2, 0, 0)$ y el plano $x + y + z - 5 = 0$: $$d(r, \pi) = \frac{|1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(r, \pi) = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{d(r, \pi) = \sqrt{3} \text{ unidades}}$$