Teorema de Rolle y Área entre Curvas

**2. a) Enuncia el teorema de Rolle. Calcula $a$, $b$ y $c$ para que la función $f(x) = \begin{cases} 2x^2 + ax & \text{si } x < 1 \\ bx + c & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$ cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo $[0,2]$ y calcula el punto en el que se cumple el teorema. (3 puntos)** Comenzamos enunciando formalmente el teorema solicitado: **Teorema de Rolle:** Sea $f(x)$ una función continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y derivable en el intervalo abierto $(a, b)$. Si se cumple que $f(a) = f(b)$, entonces existe al menos un punto $\xi \in (a, b)$ tal que $f'(\xi) = 0$. Para que la función dada cumpla las hipótesis en $[0, 2]$, debemos asegurar: 1. Continuidad en $[0, 2]$ (especialmente en $x=1$). 2. Derivabilidad en $(0, 2)$ (especialmente en $x=1$). 3. Que los valores en los extremos coincidan: $f(0) = f(2)$.

Para que $f(x)$ sea continua en $[0, 2]$, debe ser continua en el punto de salto $x=1$. Para ello, los límites laterales deben coincidir con el valor de la función: - Límite por la izquierda ($x \to 1^-$): $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x^2 + ax) = 2(1)^2 + a(1) = 2 + a$$ - Límite por la derecha ($x \to 1^+$): $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (bx + c) = b(1) + c = b + c$$ - Valor de la función: $f(1) = b + c$. Igualando los límites para garantizar la continuidad: $$2 + a = b + c \implies \mathbf{a - b - c = -2} \quad [\text{Ecuación 1}]$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para funciones a trozos, la continuidad es el primer requisito indispensable antes de estudiar la derivabilidad.

Calculamos la derivada de la función en las ramas abiertas: $$f'(x) = \begin{cases} 4x + a & \text{si } x < 1 \\ b & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x=1$, las derivadas laterales deben ser iguales: - Derivada por la izquierda: $f'(1^-) = 4(1) + a = 4 + a$ - Derivada por la derecha: $f'(1^+) = b$ Igualando ambas: $$4 + a = b \implies \mathbf{a - b = -4} \quad [\text{Ecuación 2}]$$ 💡 **Tip:** Una función no puede ser derivable en un punto si no es continua previamente en dicho punto.

La tercera hipótesis del teorema de Rolle exige que los valores de la función en los extremos del intervalo $[0, 2]$ sean iguales: - En $x=0$ (rama 1): $f(0) = 2(0)^2 + a(0) = 0$ - En $x=2$ (rama 2): $f(2) = b(2) + c = 2b + c$ Igualamos los valores: $$0 = 2b + c \implies \mathbf{2b + c = 0} \quad [\text{Ecuación 3}]$$

Tenemos el siguiente sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: 1) $a - b - c = -2$ 2) $b = a + 4$ 3) $c = -2b$ Sustituimos (2) y (3) en la ecuación (1): $$a - (a+4) - (-2b) = -2$$ $$a - a - 4 + 2b = -2 \implies 2b = 2 \implies \mathbf{b = 1}$$ Ahora calculamos $a$ y $c$: - De (2): $1 = a + 4 \implies \mathbf{a = -3}$ - De (3): $c = -2(1) \implies \mathbf{c = -2}$ ✅ **Parámetros:** $$\boxed{a = -3, \quad b = 1, \quad c = -2}$$

Buscamos el punto $\xi \in (0, 2)$ tal que $f'(\xi) = 0$. La función derivada con los parámetros hallados es: $$f'(x) = \begin{cases} 4x - 3 & \text{si } x < 1 \\ 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ - Analizamos la primera rama ($x < 1$): $$4x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{4} = 0.75$$ Como $0.75 \in (0, 1)$, este punto es válido. - Analizamos la segunda rama ($x > 1$): $$1 = 0 \implies \text{Imposible}$$ ✅ **Punto crítico:** $$\boxed{\xi = \frac{3}{4}}$$

**b) Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola $y = x^2 - 2x$ y la recta $y = x$. (Para el dibujo de la parábola, indica: puntos de corte con los ejes de coordenadas, el vértice y concavidad o convexidad).** Estudio de la parábola $y = x^2 - 2x$: 1. **Puntos de corte con los ejes**: - Eje OX ($y=0$): $x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2) = 0 \implies x=0, x=2$. Puntos: **$(0, 0)$ y $(2, 0)$**. - Eje OY ($x=0$): $y = 0^2 - 2(0) = 0$. Punto: **$(0, 0)$**. 2. **Vértice**: - Coordenada $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2(1)} = 1$. - Coordenada $y_v = f(1) = 1^2 - 2(1) = -1$. Vértice: **$(1, -1)$**. 3. **Concavidad/Convexidad**: - Como el coeficiente de $x^2$ es $1 > 0$, la parábola es **convexa** (forma de U). 💡 **Tip:** En algunos textos se llama cóncava a las que abren hacia arriba. Siguiendo el criterio estándar de Bachillerato, si $f''(x) > 0$ es convexa.

Para hallar el área, primero buscamos dónde se cortan la parábola y la recta $y = x$: $$x^2 - 2x = x \implies x^2 - 3x = 0 \implies x(x-3) = 0$$ Los puntos de corte son $x = 0$ y $x = 3$. En el intervalo $[0, 3]$, comprobamos qué función está por encima. Para $x=1$: - Recta: $y = 1$ - Parábola: $y = 1^2 - 2(1) = -1$ La recta está por encima de la parábola. El área viene dada por la integral definida: $$A = \int_{0}^{3} (x - (x^2 - 2x)) \, dx = \int_{0}^{3} (3x - x^2) \, dx$$

Aplicamos la Regla de Barrow para resolver la integral: $$A = \int_{0}^{3} (3x - x^2) \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^3$$ Sustituimos los límites: - Para $x=3$: $\frac{3(3)^2}{2} - \frac{3^3}{3} = \frac{27}{2} - \frac{27}{3} = 13.5 - 9 = 4.5$ - Para $x=0$: $0 - 0 = 0$ $$A = 4.5 - 0 = 4.5 \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado del área:** $$\boxed{A = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ u}^2}$$