Inversa, rango con parámetros y ecuaciones matriciales

**a) ¿Qué relación existe entre su inversa $A^{-1}$ y su traspuesta $A^t$?** Primero, calculamos la matriz traspuesta $A^t$ intercambiando filas por columnas: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \implies A^t = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Para comprobar la relación con la inversa, multiplicamos $A$ por $A^t$: $$A \cdot A^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$A \cdot A^t = \begin{pmatrix} (0)(0)+(0)(0)+(-1)(-1) & (0)(-1)+(0)(0)+(-1)(0) & (0)(0)+(0)(-1)+(-1)(0) \\ (-1)(0)+(0)(0)+(0)(-1) & (-1)(-1)+(0)(0)+(0)(0) & (-1)(0)+(0)(-1)+(0)(0) \\ (0)(0)+(-1)(0)+(0)(-1) & (0)(-1)+(-1)(0)+(0)(0) & (0)(0)+(-1)(-1)+(0)(0) \end{pmatrix}$$ $$A \cdot A^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ Como $A \cdot A^t = I$, por la definición de matriz inversa ($A \cdot A^{-1} = I$), concluimos que la traspuesta coincide con la inversa. 💡 **Tip:** Una matriz que cumple $A^t = A^{-1}$ se denomina **matriz ortogonal**. Se caracteriza porque sus filas (y columnas) son vectores unitarios y perpendiculares entre sí. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = A^t}$$

**b) Estudia, según los valores de $\lambda$, el rango de $A - \lambda I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 3. Calcula las matrices $X$ que verifican $AX + X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}$** Escribimos la matriz $M = A - \lambda I$: $$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\lambda & 0 & -1 \\ -1 & -\lambda & 0 \\ 0 & -1 & -\lambda \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante mediante la regla de Sarrus: $$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} -\lambda & 0 & -1 \\ -1 & -\lambda & 0 \\ 0 & -1 & -\lambda \end{vmatrix} = (-\lambda)^3 + 0 + (-1) - (0 + 0 + 0) = -\lambda^3 - 1$$ Igualamos el determinante a cero para ver cuándo el rango no es máximo: $$-\lambda^3 - 1 = 0 \implies \lambda^3 = -1 \implies \lambda = \sqrt[3]{-1} = -1$$ **Discusión del rango:** 1. **Si $\lambda \neq -1$**: El determinante es distinto de cero, por lo tanto, el rango de la matriz es 3. 2. **Si $\lambda = -1$**: El determinante es cero. Veamos el rango analizando un menor de orden 2: $$A - (-1)I = A + I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Tomamos el menor $M_2 = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$. Por tanto, el rango es 2. 💡 **Tip:** Recuerda que el rango es el orden del mayor menor no nulo. Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es 0, el rango será 2, 1 o 0. ✅ **Resultado (Rango):** $$\boxed{\text{Si } \lambda \neq -1, \text{rg}(A-\lambda I)=3; \quad \text{Si } \lambda = -1, \text{rg}(A-\lambda I)=2}$$

Para resolver $AX + X = \mathbf{0}$, factorizamos la matriz $X$ por la derecha: $$(A + I)X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Esta ecuación es un sistema de ecuaciones lineales homogéneo donde la matriz de coeficientes es $A + I$. Como vimos en el apartado anterior, para $\lambda = -1$, el rango de $A+I$ es 2. Al ser menor que el número de incógnitas (3), el sistema es **compatible indeterminado**. Llamando $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, el sistema es: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies \begin{cases} x - z = 0 \\ -x + y = 0 \\ -y + z = 0 \end{cases}$$ De la primera ecuación: $x = z$. De la segunda ecuación: $y = x$. La tercera ecuación se verifica automáticamente: $-x + x = 0$. Las soluciones son de la forma $x = y = z = t$ para cualquier $t \in \mathbb{R}$. 💡 **Tip:** En una ecuación del tipo $MX = 0$, si $|M| \neq 0$, la única solución es la trivial ($X=0$). Si $|M| = 0$, existen infinitas soluciones. ✅ **Resultado (Matrices X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} t \\ t \\ t \end{pmatrix}, \forall t \in \mathbb{R}}$$