Distribución normal: nota de corte y cálculo de probabilidades

**(a) la nota de corte para los admitidos. (0,75 puntos)** Definimos la variable aleatoria $X$ como la calificación obtenida por los aspirantes en la prueba. El enunciado nos indica que sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(6.5, 2)$$ Para obtener la nota de corte, primero calculamos la proporción de alumnos que consiguen plaza. Si hay 300 plazas para 2500 aspirantes, la probabilidad de ser admitido (estar por encima de la nota de corte $x_0$) es: $$p = \frac{300}{2500} = 0.12$$ Buscamos el valor $x_0$ tal que la probabilidad de obtener una nota mayor o igual sea $0.12$: $$P(X \ge x_0) = 0.12$$ 💡 **Tip:** En problemas de oposiciones, la nota de corte es el valor de la variable que deja a su derecha un área igual a la proporción de plazas ofertadas.

Para resolver la probabilidad, tipificamos la variable $X$ para convertirla en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$: $$P\left(Z \ge \frac{x_0 - 6.5}{2}\right) = 0.12$$ Como las tablas de la normal estándar ofrecen la probabilidad acumulada a la izquierda ($P(Z \le z)$), aplicamos la propiedad del complementario: $$1 - P\left(Z \lt \frac{x_0 - 6.5}{2}\right) = 0.12 \implies P\left(Z \lt \frac{x_0 - 6.5}{2}\right) = 0.88$$ Buscamos en la tabla de la $N(0, 1)$ el valor de $z$ que corresponde a una probabilidad de $0.88$: - Para $z = 1.17 \to 0.8790$ - Para $z = 1.18 \to 0.8810$ Tomamos el valor medio (interpolando): $z \approx 1.175$. Ahora igualamos y despejamos $x_0$: $$\frac{x_0 - 6.5}{2} = 1.175$$ $$x_0 - 6.5 = 1.175 \cdot 2 = 2.35$$ $$x_0 = 6.5 + 2.35 = 8.85$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x_0 = 8.85}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto de la probabilidad no aparece en la tabla, puedes elegir el más cercano o realizar la media aritmética de los dos valores que lo rodean.

**(b) la probabilidad de que un alumno elegido al azar tenga una nota mayor que 9. (0,75 puntos)** Debemos calcular $P(X \gt 9)$. Procedemos a tipificar el valor utilizando la misma media y desviación típica que antes: $$P(X \gt 9) = P\left(Z \gt \frac{9 - 6.5}{2}\right) = P\left(Z \gt \frac{2.5}{2}\right) = P(Z \gt 1.25)$$ Usamos de nuevo la propiedad del complementario para poder consultar la tabla: $$P(Z \gt 1.25) = 1 - P(Z \le 1.25)$$ Buscamos el valor $1.25$ en la tabla de la $N(0, 1)$: $$P(Z \le 1.25) = 0.8944$$ Calculamos la probabilidad final: $$P(X \gt 9) = 1 - 0.8944 = 0.1056$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 9) = 0.1056}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en distribuciones continuas es indiferente usar los símbolos $\gt$ o $\ge$, ya que la probabilidad en un punto exacto es cero.