Estudio de función racional, gráfica e integración

**(a) Estudie el dominio, las asíntotas y máximos y mínimos de la función $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ (1,5 puntos)** El dominio de una función racional está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Resolvemos la ecuación del denominador: $$x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm \sqrt{1} \implies x = 1, \quad x = -1.$$ Por lo tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en las funciones racionales, los puntos donde el denominador es cero son candidatos a ser asíntotas verticales.

Para hallar las asíntotas, estudiamos el comportamiento de la función en los puntos fuera del dominio y en el infinito. **Asíntotas Verticales (AV):** Estudiamos los límites laterales en $x = -1$ y $x = 1$: - Para $x = -1$: $$\lim_{x \to -1^-} \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{0^+} = +\infty, \quad \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{0^-} = -\infty.$$ - Para $x = 1$: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{0^-} = -\infty, \quad \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{0^+} = +\infty.$$ Las rectas **$x = -1$** y **$x = 1$** son asíntotas verticales. **Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite en el infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2 - 1} = 0.$$ La recta **$y = 0$** (el eje $X$) es la asíntota horizontal. **Asíntotas Oblicuas (AO):** Al existir asíntota horizontal tanto en $+\infty$ como en $-\infty$, **no hay asíntotas oblicuas**. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: } x = -1, x = 1; \quad \text{AH: } y = 0}$$

Para hallar los extremos relativos, calculamos la primera derivada y la igualamos a cero. Derivamos la función $f(x) = (x^2 - 1)^{-1}$ usando la regla de la cadena: $$f'(x) = -1 \cdot (x^2 - 1)^{-2} \cdot (2x) = \frac{-2x}{(x^2 - 1)^2}.$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$\frac{-2x}{(x^2 - 1)^2} = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0.$$ Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y el punto crítico: $$ \begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, +\infty) \\\hline f'(x) & + & \nexists & + & 0 & - & \nexists & - \\\hline f(x) & \nearrow & \text{AV} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{AV} & \searrow \end{array} $$ - En $(-\infty, -1) \cup (-1, 0)$, $f'(x) \gt 0$, luego $f(x)$ es **creciente**. - En $(0, 1) \cup (1, +\infty)$, $f'(x) \lt 0$, luego $f(x)$ es **decreciente**. En $x = 0$ hay un cambio de crecimiento a decrecimiento, por lo que hay un **máximo relativo**. Ordenada del máximo: $f(0) = \frac{1}{0^2 - 1} = -1$. ✅ **Resultado (Máximos y mínimos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (0, -1); \quad \text{No hay mínimos relativos}}$$

**(b) Represente la gráfica de $f(x)$ utilizando los datos del apartado anterior. (0,5 puntos)** Utilizamos las asíntotas ($x=-1, x=1, y=0$) y el máximo local $(0, -1)$ para dibujar la curva. Observamos que la función es simétrica respecto al eje $Y$ (es una función par, ya que $f(-x) = f(x)$). - Para $x < -1$, la función viene de $y=0$ y sube a $+\infty$. - Para $-1 < x < 1$, la función sube desde $-\infty$ hasta el máximo $(0, -1)$ y vuelve a bajar a $-\infty$. - Para $x > 1$, la función baja desde $+\infty$ hacia $y=0$.

**(c) Calcule una primitiva $F(x)$ de la función $f(x)$. (1,5 puntos)** Buscamos $F(x) = \int \frac{1}{x^2 - 1} dx$. Se trata de una integral racional con raíces reales distintas en el denominador. Usamos el método de **fracciones simples**. Factorizamos el denominador: $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$ Planteamos la descomposición: $$\frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$$ Multiplicando por el denominador común: $$1 = A(x + 1) + B(x - 1)$$ Calculamos $A$ y $B$ dando valores a $x$: - Si $x = 1 \implies 1 = A(2) \implies A = 1/2$. - Si $x = -1 \implies 1 = B(-2) \implies B = -1/2$. Sustituimos en la integral: $$\int \frac{1}{x^2 - 1} dx = \int \frac{1/2}{x - 1} dx + \int \frac{-1/2}{x + 1} dx$$ $$\int \frac{1}{x^2 - 1} dx = \frac{1}{2} \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 1| + C$$ Usando las propiedades de los logaritmos, podemos simplificar: $$F(x) = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| + C$$ Como nos piden "una" primitiva, podemos tomar $C=0$. ✅ **Resultado (Primitiva):** $$\boxed{F(x) = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right|}$$