Distancia punto-recta y área de un triángulo

**(a) Calcule la distancia del punto $A$ a la recta $r$. (1,5 puntos)** Para calcular la distancia de un punto $A$ a una recta $r$, utilizaremos la fórmula basada en el producto vectorial: $$d(A, r) = \frac{|\vec{BA} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$$ donde $B$ es un punto de la recta y $\vec{v}$ su vector director. Datos conocidos: - Punto $A = (1, 0, 1)$ - Punto de la recta $B = (-1, 0, 2)$ - Vector director $\vec{v} = (-1, 1, 0)$ Primero calculamos el vector $\vec{BA}$ que une el punto de la recta con el punto exterior: $$\vec{BA} = A - B = (1 - (-1), 0 - 0, 1 - 2) = (2, 0, -1)$$ 💡 **Tip:** La distancia de un punto a una recta representa la altura del paralelogramo formado por el vector director de la recta y el vector que une el punto con la recta, dividida por la base.

Calculamos el producto vectorial $\vec{BA} \times \vec{v}$ mediante el desarrollo del determinante por la regla de Sarrus: $$\vec{BA} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Calculamos los términos: - Positivos: $(\vec{i} \cdot 0 \cdot 0) + (\vec{j} \cdot (-1) \cdot (-1)) + (\vec{k} \cdot 2 \cdot 1) = 0\vec{i} + 1\vec{j} + 2\vec{k}$ - Negativos: $(\vec{k} \cdot 0 \cdot (-1)) + (\vec{i} \cdot (-1) \cdot 1) + (\vec{j} \cdot 2 \cdot 0) = 0\vec{k} - 1\vec{i} + 0\vec{j}$ Restamos los resultados: $$\vec{BA} \times \vec{v} = (0\vec{i} + 1\vec{j} + 2\vec{k}) - (-1\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}) = (1, 1, 2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto vectorial es un vector perpendicular a los dos vectores originales.

Ahora calculamos el módulo del producto vectorial y el módulo del vector director: 1. Módulo del producto vectorial: $$|\vec{BA} \times \vec{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$$ 2. Módulo del vector director: $$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$$ Aplicamos la fórmula de la distancia: $$d(A, r) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(A, r) = \sqrt{3} \text{ unidades}}$$

**(b) Calcule el área del triángulo de vértices $A, B$ y $O$ siendo $O = (0, 0, 0)$. (1 punto)** El área de un triángulo con vértices $O, A$ y $B$ se calcula como la mitad del módulo del producto vectorial de dos de los vectores que forman sus lados: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{OA} \times \vec{OB}|$$ Definimos los vectores desde el origen $O(0,0,0)$: - $\vec{OA} = (1, 0, 1)$ - $\vec{OB} = (-1, 0, 2)$ 💡 **Tip:** El módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que definen. Por eso el área del triángulo es la mitad.

Realizamos el producto vectorial $\vec{OA} \times \vec{OB}$ mediante el determinante: $$\vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: - Positivos: $(\vec{i} \cdot 0 \cdot 2) + (\vec{j} \cdot 1 \cdot (-1)) + (\vec{k} \cdot 1 \cdot 0) = 0\vec{i} - 1\vec{j} + 0\vec{k}$ - Negativos: $(\vec{k} \cdot 0 \cdot (-1)) + (\vec{i} \cdot 1 \cdot 0) + (\vec{j} \cdot 1 \cdot 2) = 0\vec{k} + 0\vec{i} + 2\vec{j}$ Restamos: $$\vec{OA} \times \vec{OB} = (0, -1, 0) - (0, 2, 0) = (0, -3, 0)$$ Como el determinante tiene una columna de ceros (la de las $y$), también podíamos haber observado que el resultado solo tendría componente en $\vec{j}$.

Calculamos el módulo del vector obtenido: $$|\vec{OA} \times \vec{OB}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$$ Finalmente, aplicamos la fórmula del área: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 1,5 \text{ unidades}^2}$$