Operaciones con matrices e inversión

**(a) Calcule la matriz $C = -3A + B^2$. (1 punto)** En primer lugar, calculamos $B^2$ realizando el producto de la matriz $B$ por sí misma: $$B^2 = B \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos filas por columnas: - Fila 1: $(1\cdot1 + 0\cdot0 + 1\cdot(-1)) = 0$; $(1\cdot0 + 0\cdot1 + 1\cdot0) = 0$; $(1\cdot1 + 0\cdot0 + 1\cdot1) = 2$ - Fila 2: $(0\cdot1 + 1\cdot0 + 0\cdot(-1)) = 0$; $(0\cdot0 + 1\cdot1 + 0\cdot0) = 1$; $(0\cdot1 + 1\cdot0 + 0\cdot1) = 0$ - Fila 3: $(-1\cdot1 + 0\cdot0 + 1\cdot(-1)) = -2$; $(-1\cdot0 + 0\cdot1 + 1\cdot0) = 0$; $(-1\cdot1 + 0\cdot0 + 1\cdot1) = 0$ $$B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda. El elemento $c_{ij}$ se obtiene sumando los productos de los elementos de la fila $i$ de la primera por la columna $j$ de la segunda.

Ahora calculamos la expresión completa $C = -3A + B^2$: $$-3A = -3 \begin{pmatrix} -2 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 0 \\ -6 & -3 & -6 \\ 0 & 6 & -6 \end{pmatrix}$$ Sumamos ambas matrices: $$C = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 0 \\ -6 & -3 & -6 \\ 0 & 6 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$C = \begin{pmatrix} 6+0 & 6+0 & 0+2 \\ -6+0 & -3+1 & -6+0 \\ 0-2 & 6+0 & -6+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 2 \\ -6 & -2 & -6 \\ -2 & 6 & -6 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz C):** $$\boxed{C = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 2 \\ -6 & -2 & -6 \\ -2 & 6 & -6 \end{pmatrix}}$$

**(b) Halle la inversa $A^{-1}$ de la matriz $A$. (1,5 puntos)** Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} -2 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(-2) \cdot 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 \cdot 0 + 0 \cdot 2 \cdot (-2)] - [0 \cdot 1 \cdot 0 + (-2) \cdot 2 \cdot (-2) + 2 \cdot (-2) \cdot 2]$$ $$|A| = [-4 + 0 + 0] - [0 + 8 - 8] = -4 - 0 = -4$$ Como $|A| = -4 \neq 0$, la matriz **$A$ es invertible**. 💡 **Tip:** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$).

Utilizaremos la fórmula: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A^T)$. Primero hallamos la traspuesta de $A$: $$A^T = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos los elementos de la matriz adjunta de la traspuesta: - $A_{11} = + \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (-4) = 6$ - $A_{12} = - \begin{vmatrix} -2 & -2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(-4 - 0) = 4$ - $A_{13} = + \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -4 - 0 = -4$ - $A_{21} = - \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -(4 - 0) = -4$ - $A_{22} = + \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -4 - 0 = -4$ - $A_{23} = - \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(-4 - 0) = 4$ - $A_{31} = + \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -4 - 0 = -4$ - $A_{32} = - \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} = -(4 - 0) = -4$ - $A_{33} = + \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -2 - (-4) = 2$ La matriz de adjuntos de la traspuesta es: $$\text{adj}(A^T) = \begin{pmatrix} 6 & 4 & -4 \\ -4 & -4 & 4 \\ -4 & -4 & 2 \end{pmatrix}$$

Finalmente, dividimos cada elemento de la matriz adjunta por el determinante $|A| = -4$: $$A^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} 6 & 4 & -4 \\ -4 & -4 & 4 \\ -4 & -4 & 2 \end{pmatrix}$$ Simplificando las fracciones: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{6}{4} & -\frac{4}{4} & \frac{4}{4} \\ \frac{4}{4} & \frac{4}{4} & -\frac{4}{4} \\ \frac{4}{4} & \frac{4}{4} & -\frac{2}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3/2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1,5 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -0,5 \end{pmatrix}}$$