Probabilidad de lectura de noticias

En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema y extraemos los datos proporcionados por el enunciado: - $D$: La persona lee noticias deportivas. $P(D) = 0,55$. - $I$: La persona lee noticias de información. $P(I) = 0,65$. - $\overline{D} \cap \overline{I}$: La persona no lee ni deportivas ni de información. $P(\overline{D} \cap \overline{I}) = 0,10$. Podemos organizar esta información en una **tabla de contingencia** para facilitar los cálculos de todas las intersecciones posibles: $$\begin{array}{c|cc|c} & I & \overline{I} & \text{Total} \\\hline D & P(D \cap I) & P(D \cap \overline{I}) & 0,55 \\ \overline{D} & P(\overline{D} \cap I) & 0,10 & 0,45 \\ \hline \text{Total} & 0,65 & 0,35 & 1,00 \end{array}$$ Para completar la tabla: - $P(D \cap \overline{I}) = P(\overline{I}) - P(\overline{D} \cap \overline{I}) = 0,35 - 0,10 = 0,25$. - $P(D \cap I) = P(D) - P(D \cap \overline{I}) = 0,55 - 0,25 = 0,30$. - $P(\overline{D} \cap I) = P(I) - P(D \cap I) = 0,65 - 0,30 = 0,35$. 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las filas y las columnas debe coincidir con los totales marginales y el total general de $1$.

**(a) calcule la probabilidad de que lea noticias deportivas o de información. (0,5 puntos)** Nos piden la probabilidad de que ocurra el suceso $D$ o el suceso $I$, es decir, la probabilidad de la unión $P(D \cup I)$. Por las leyes de De Morgan, sabemos que el suceso contrario a la unión es la intersección de los contrarios: $$P(D \cup I) = 1 - P(\overline{D \cup I}) = 1 - P(\overline{D} \cap \overline{I})$$ Sustituimos el valor dado en el enunciado: $$P(D \cup I) = 1 - 0,10 = 0,90$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(D \cup I) = 0,90}$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de que ocurra "A o B" siempre se refiere a la unión $P(A \cup B)$.

**(b) sabiendo que lee noticias de información, calcule la probabilidad de que también lea noticias de deportes. (0,5 puntos)** Se trata de una probabilidad condicionada. Queremos hallar $P(D | I)$. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(D | I) = \frac{P(D \cap I)}{P(I)}$$ Utilizamos el valor de la intersección que calculamos en la tabla del paso 1 ($P(D \cap I) = 0,30$) o lo deducimos de la fórmula de la unión: $$P(D \cup I) = P(D) + P(I) - P(D \cap I) \implies 0,90 = 0,55 + 0,65 - P(D \cap I)$$ $$P(D \cap I) = 1,20 - 0,90 = 0,30$$ Calculamos la probabilidad condicionada: $$P(D | I) = \frac{0,30}{0,65} = \frac{30}{65} = \frac{6}{13} \approx 0,4615$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(D | I) = \frac{6}{13} \approx 0,4615}$$ 💡 **Tip:** En los enunciados, la expresión "sabiendo que..." indica el suceso que va en el denominador de la fórmula de la probabilidad condicionada.

**(c) sabiendo que lee noticias de deportes, calcule la probabilidad de que no lea noticias de información. (0,5 puntos)** En este caso, buscamos $P(\overline{I} | D)$. Aplicamos de nuevo la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(\overline{I} | D) = \frac{P(\overline{I} \cap D)}{P(D)}$$ El suceso $D$ se puede dividir en los que leen información y los que no: $$P(D) = P(D \cap I) + P(D \cap \overline{I})$$ $$0,55 = 0,30 + P(D \cap \overline{I}) \implies P(D \cap \overline{I}) = 0,25$$ Sustituimos en la fórmula: $$P(\overline{I} | D) = \frac{0,25}{0,55} = \frac{25}{55} = \frac{5}{11} \approx 0,4545$$ ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{P(\overline{I} | D) = \frac{5}{11} \approx 0,4545}$$ 💡 **Tip:** También podrías haber usado que $P(\overline{I} | D) = 1 - P(I | D)$. Primero calculas $P(I | D) = \frac{0,30}{0,55} = \frac{6}{11}$ y luego restas: $1 - \frac{6}{11} = \frac{5}{11}$.