Teorema de Bolzano e Integración por Partes

**(a) Enuncie el teorema de Bolzano y demuestre, usando dicho teorema, que la función $f(x) = x^3 + x - 3$ tiene una raíz real positiva. (1,5 puntos)** El **Teorema de Bolzano** establece que: Si una función $g(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y el signo de la función en los extremos es distinto, es decir, $g(a) \cdot g(b) < 0$, entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $g(c) = 0$. Geométricamente, esto significa que si una curva continua pasa de estar por debajo del eje $X$ a estar por encima (o viceversa), necesariamente debe cortar al eje en algún punto intermedio.

Para demostrar que $f(x) = x^3 + x - 3$ tiene una raíz real positiva, debemos encontrar un intervalo $[a, b]$ en el semieje positivo ($x > 0$) donde se cumplan las hipótesis: 1. **Continuidad:** $f(x)$ es una función polinómica, por lo que es continua en todo $\mathbb{R}$, y en particular en cualquier intervalo cerrado que elijamos. 2. **Búsqueda del intervalo:** Probamos valores sencillos para encontrar un cambio de signo: - Para $x = 1$: $f(1) = 1^3 + 1 - 3 = 1 + 1 - 3 = -1 < 0$. - Para $x = 2$: $f(2) = 2^3 + 2 - 3 = 8 + 2 - 3 = 7 > 0$. Como $f(1) < 0$ y $f(2) > 0$, la función cambia de signo en el intervalo $[1, 2]$. 💡 **Tip:** Siempre busca números enteros pequeños para comprobar el cambio de signo de forma rápida.

Puesto que $f(x)$ es continua en $[1, 2]$ y $f(1) \cdot f(2) < 0$ (ya que $-1 \cdot 7 = -7 < 0$): Por el **Teorema de Bolzano**, existe al menos un valor $c \in (1, 2)$ tal que $f(c) = 0$. Como el intervalo $(1, 2)$ está contenido en los números reales positivos, queda demostrado que la función tiene al menos una **raíz real positiva**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe } c \in (1, 2) \text{ tal que } f(c) = 0}$$

**(b) Calcule la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = (x + 1)e^{-x}$ que cumpla la condición $F(0) = 0$. (2 puntos)** Para hallar la primitiva $F(x)$, debemos calcular la integral indefinida de $f(x)$: $$F(x) = \int (x + 1)e^{-x} \, dx$$ Utilizaremos el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla mnemotécnica útil para elegir $u$ es "ALPES" (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos).

Elegimos las partes: - $u = x + 1 \implies du = dx$ - $dv = e^{-x} \, dx \implies v = \int e^{-x} \, dx = -e^{-x}$ Aplicamos la fórmula: $$F(x) = (x + 1)(-e^{-x}) - \int -e^{-x} \, dx$$ $$F(x) = -(x + 1)e^{-x} + \int e^{-x} \, dx$$ $$F(x) = -(x + 1)e^{-x} - e^{-x} + C$$ Simplificamos la expresión factorizando $-e^{-x}$: $$F(x) = e^{-x}(-(x + 1) - 1) + C = e^{-x}(-x - 1 - 1) + C$$ $$F(x) = -(x + 2)e^{-x} + C$$

Usamos la condición inicial $F(0) = 0$ para encontrar el valor de la constante $C$: $$F(0) = -(0 + 2)e^{-0} + C = 0$$ $$-2 \cdot 1 + C = 0$$ $$-2 + C = 0 \implies C = 2$$ Sustituimos el valor de $C$ en la expresión de la primitiva: $$F(x) = -(x + 2)e^{-x} + 2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{F(x) = 2 - (x + 2)e^{-x}}$$