Intersección de recta y plano. Recta paralela y perpendicular

**(a) Calcule la intersección del plano y la recta. (1 punto)** Para hallar la intersección entre una recta y un plano, lo más sencillo es expresar la recta en ecuaciones paramétricas y sustituir dichas expresiones en la ecuación del plano. A partir de la ecuación continua de $r: \frac{x+1}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{1}$, identificamos un punto $Q(-1, 1, 1)$ y su vector director $\vec{v}_r = (1, -2, 1)$. Las ecuaciones paramétricas son: $$r : \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\Pi : y + z = 0$: $$(1 - 2\lambda) + (1 + \lambda) = 0$$ $$2 - \lambda = 0 \implies \lambda = 2$$ 💡 **Tip:** Si al sustituir obtuviéramos una identidad (0=0), la recta estaría contenida en el plano. Si fuera una contradicción (ej. 5=0), serían paralelos.

Una vez hallado el valor del parámetro $\lambda = 2$, calculamos el punto de intersección $I$ sustituyendo en las ecuaciones de la recta: $$x = -1 + 2 = 1$$ $$y = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3$$ $$z = 1 + 2 = 3$$ Por tanto, el punto de intersección es $I(1, -3, 3)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{I(1, -3, 3)}$$

**(b) Determine la recta $s$ que pasa por el punto $P = (1, 0, 0)$, es paralela al plano $\Pi$ y es perpendicular a la recta $r$. (1,5 puntos)** Buscamos el vector director de la recta $s$, que llamaremos $\vec{v}_s$. Las condiciones dadas son: 1. **$s$ es paralela al plano $\Pi$**: Esto significa que el vector director de la recta debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\Pi = (0, 1, 1)$. 2. **$s$ es perpendicular a la recta $r$**: Esto significa que $\vec{v}_s$ debe ser perpendicular al vector director de la recta $r$, que es $\vec{v}_r = (1, -2, 1)$. Como $\vec{v}_s$ debe ser perpendicular a $\vec{n}_\Pi$ y a $\vec{v}_r$ simultáneamente, podemos obtenerlo mediante el **producto vectorial** de ambos. 💡 **Tip:** Recuerda que el producto vectorial de dos vectores da como resultado un nuevo vector perpendicular a ambos.

Calculamos $\vec{v}_s = \vec{n}_\Pi \times \vec{v}_r$ utilizando el determinante: $$\vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por la regla de Sarrus: $$\vec{v}_s = [1 \cdot 1 \mathbf{i} + 1 \cdot 1 \mathbf{j} + 0 \cdot (-2) \mathbf{k}] - [1 \cdot 1 \mathbf{k} + (-2) \cdot 1 \mathbf{i} + 0 \cdot 1 \mathbf{j}]$$ $$\vec{v}_s = (\mathbf{i} + \mathbf{j}) - (\mathbf{k} - 2\mathbf{i}) = (1 - (-2))\mathbf{i} + 1\mathbf{j} - 1\mathbf{k} = 3\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k}$$ Así, el vector director es $\vec{v}_s = (3, 1, -1)$.

Conocemos el punto $P(1, 0, 0)$ y el vector director $\vec{v}_s = (3, 1, -1)$. La recta $s$ se puede expresar en su forma continua: $$s : \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 0}{-1}$$ Simplificando: $$s : \frac{x - 1}{3} = y = -z$$ También podemos darla en paramétricas: $$s : \begin{cases} x = 1 + 3\mu \\ y = \mu \\ z = -\mu \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{s : \frac{x - 1}{3} = y = -z}$$