Discusión y resolución de un sistema lineal con parámetros

**(a) Discuta, en función del parámetro $\lambda$, el sistema lineal de ecuaciones** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ \lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ \lambda & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda & 1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, que relaciona el rango de estas matrices con el número de soluciones. 💡 **Tip:** Recuerda que si $\text{rank}(A) = \text{rank}(A^*) = n$ (nº de incógnitas), el sistema es compatible determinado; si son iguales pero menores que $n$, es compatible indeterminado; y si son distintos, es incompatible.

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $|A|$ para ver en qué casos el rango es máximo (rango 3): $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ \lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = [1\cdot 1 \cdot \lambda + 2 \cdot 1 \cdot 1 + (-1) \cdot \lambda \cdot 1] - [1 \cdot 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \cdot 1 + \lambda \cdot 2 \cdot \lambda]$$ $$|A| = [\lambda + 2 - \lambda] - [-1 + 1 + 2\lambda^2]$$ $$|A| = 2 - 2\lambda^2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $\lambda$: $$2 - 2\lambda^2 = 0 \implies 2\lambda^2 = 2 \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1$$ 💡 **Tip:** Los valores que anulan el determinante son los que cambian el rango de la matriz de coeficientes.

Analizamos los tres casos posibles basándonos en el valor del determinante: **Caso 1: $\lambda \neq 1$ y $\lambda \neq -1$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por lo tanto, el rango de $A$ es 3. Al ser la matriz ampliada $A^*$ de dimensión $3 \times 4$, su rango también debe ser 3. $$\text{rank}(A) = \text{rank}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)** (solución única). **Caso 2: $\lambda = 1$** La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que las filas 2 y 3 son iguales. El rango de $A$ es 2 (ya que $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$). Como la última fila no aporta información nueva, el rango de $A^*$ también es 2. $$\text{rank}(A) = \text{rank}(A^*) = 2 \lt 3$$ El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)** (infinitas soluciones). **Caso 3: $\lambda = -1$** La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $\text{rank}(A) = 2$ (pues $|A|=0$ y $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$). Comprobamos el rango de $A^*$ analizando el determinante de las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 + 2 + 0) - (0 + 1 - 2) = 3 - (-1) = 4 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo, $\text{rank}(A^*) = 3$. Como $2 \neq 3$, el sistema es **Incompatible (SI)** (no tiene solución). ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} \lambda \neq \pm 1 & \text{SCD} \\ \lambda = 1 & \text{SCI} \\ \lambda = -1 & \text{SI} \end{cases}}$$

**(b) Resuelva el sistema para $\lambda = 1$. (0,5 puntos)** Para $\lambda = 1$, hemos visto que el sistema es Compatible Indeterminado. El sistema se reduce a dos ecuaciones (ya que la tercera es idéntica a la segunda): $$\begin{cases} x + 2y - z = 0 \\ x + y + z = 1 \end{cases}$$ Para resolverlo, tomamos $z$ como parámetro, por ejemplo, $z = \alpha$ con $\alpha \in \mathbb{R}$. Reescribimos el sistema: $$\begin{cases} x + 2y = \alpha \\ x + y = 1 - \alpha \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación a la primera para despejar $y$: $$(x + 2y) - (x + y) = \alpha - (1 - \alpha) \implies y = 2\alpha - 1$$ Ahora sustituimos $y$ en la segunda ecuación para hallar $x$: $$x + (2\alpha - 1) = 1 - \alpha \implies x = 1 - \alpha - 2\alpha + 1 = 2 - 3\alpha$$ 💡 **Tip:** En un sistema SCI con rango 2 y 3 incógnitas, las soluciones siempre dependen de un único parámetro ($3-2=1$). ✅ **Resultado (Resolución):** $$\boxed{\begin{cases} x = 2 - 3\alpha \\ y = -1 + 2\alpha \\ z = \alpha \end{cases} \forall \alpha \in \mathbb{R}}$$