Distribución Binomial: Probabilidad de bombillas defectuosas

Para resolver este ejercicio, primero debemos identificar el modelo de probabilidad. Estamos ante un experimento con las siguientes características: 1. Se realizan un número fijo de pruebas independientes: $n = 6$ bombillas. 2. En cada prueba solo hay dos resultados posibles: la bombilla es defectuosa (éxito) o no lo es (fracaso). 3. La probabilidad de éxito es constante: $p = 10\% = 0,10$. Por tanto, la probabilidad de fracaso es $q = 1 - p = 0,90$. Definimos la variable aleatoria: $X$: "Número de bombillas defectuosas en una muestra de 6". Esta variable sigue una **distribución Binomial**: $X \sim B(n, p) = B(6, \, 0,10)$. 💡 **Tip:** Recuerda que la fórmula de la probabilidad para una Binomial es $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$, donde $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

**(a) la probabilidad de que ninguna sea defectuosa. (0,5 puntos)** Nos piden calcular la probabilidad de que el número de bombillas defectuosas sea exactamente cero, es decir, $P(X = 0)$. Aplicando la fórmula de la distribución binomial: $$P(X=0) = \binom{6}{0} \cdot (0,10)^0 \cdot (0,90)^{6-0}$$ Calculamos cada término: - $\binom{6}{0} = 1$ - $(0,10)^0 = 1$ - $(0,90)^6 = 0,531441$ Entonces: $$P(X=0) = 1 \cdot 1 \cdot 0,531441 = 0,531441$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X=0) = 0,5314}$$

**(b) la probabilidad de obtener más de 2 defectuosas. (0,5 puntos)** Nos piden calcular $P(X \gt 2)$. Esto incluye los casos $X=3, 4, 5, 6$. Es más sencillo calcularlo mediante el **suceso contrario**: $$P(X \gt 2) = 1 - P(X \le 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$$ Ya conocemos $P(X=0) = 0,531441$. Calculamos el resto: 1. Para $X=1$: $$P(X=1) = \binom{6}{1} \cdot (0,1)^1 \cdot (0,9)^5 = 6 \cdot 0,1 \cdot 0,59049 = 0,354294$$ 2. Para $X=2$: $$P(X=2) = \binom{6}{2} \cdot (0,1)^2 \cdot (0,9)^4 = 15 \cdot 0,01 \cdot 0,6561 = 0,098415$$ Sumamos las probabilidades de $X \le 2$: $$P(X \le 2) = 0,531441 + 0,354294 + 0,098415 = 0,98415$$ Finalmente: $$P(X \gt 2) = 1 - 0,98415 = 0,01585$$ 💡 **Tip:** Usar el suceso complementario es fundamental cuando el cálculo directo implica sumar muchos términos.

Tras realizar los cálculos detallados en el paso anterior, obtenemos la probabilidad solicitada. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 2) = 0,0159}$$

**(c) la media y la desviación típica de la distribución. (0,5 puntos)** Para una distribución binomial $B(n, p)$, los parámetros estadísticos se calculan con las siguientes fórmulas: **1. Media (Esperanza Matemática):** $$\mu = n \cdot p$$ $$\mu = 6 \cdot 0,10 = 0,6$$ Esto significa que, en promedio, esperaríamos encontrar 0,6 bombillas defectuosas en una muestra de 6. **2. Desviación típica:** $$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$$ $$\sigma = \sqrt{6 \cdot 0,10 \cdot 0,90} = \sqrt{0,54}$$ $$\sigma \approx 0,734846...$$ 💡 **Tip:** No confundas la varianza ($V = n \cdot p \cdot q$) con la desviación típica (que es su raíz cuadrada). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\mu = 0,6; \quad \sigma \approx 0,7348}$$