Estudio completo de la función x ln(x)

**(a) ¿Se puede definir $f(0)$ para que $f(x)$ sea continua por la derecha de $x = 0$? (1 punto)** Para que la función sea continua por la derecha en $x = 0$, debe existir el límite lateral y coincidir con el valor de la función en ese punto: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ Calculamos el límite: $$\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0 \cdot (-\infty)$$ Como es una indeterminación del tipo $0 \cdot \infty$, reescribimos la expresión para aplicar la **Regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{1/x} = \left[ \frac{-\infty}{\infty} \right]$$ Derivamos numerador y denominador: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{(\ln(x))'}{(1/x)'} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} -\frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0^+} -x = 0.$$ Para que sea continua, definimos $f(0) = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que para aplicar L'Hôpital en indeterminaciones $0 \cdot \infty$, debemos pasar uno de los factores al denominador como su recíproco. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, definiendo } f(0) = 0}$$

**(b) Estudie los máximos y mínimos relativos de $f(x)$ para $x > 0$. (0,5 puntos)** Para hallar los extremos relativos, calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: $$f'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1.$$ Buscamos los puntos críticos: $$\ln(x) + 1 = 0 \implies \ln(x) = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}.$$ Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico en el dominio $(0, +\infty)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 1/e) & 1/e & (1/e, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ La ordenada del punto es: $$f(1/e) = \frac{1}{e} \ln(1/e) = \frac{1}{e}(-1) = -\frac{1}{e}.$$ 💡 **Tip:** Si $f'(x)$ pasa de negativa a positiva, existe un mínimo relativo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } \left(\frac{1}{e}, -\frac{1}{e}\right)}$$

**(c) Halle, si existe, la recta tangente a $f(x)$ en $x = 1$. (0,5 puntos)** La ecuación de la recta tangente en $x = a$ es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. 1. Calculamos el punto de tangencia: $$f(1) = 1 \cdot \ln(1) = 1 \cdot 0 = 0 \implies \text{Punto } (1, 0)$$ 2. Calculamos la pendiente ($m$): $$f'(1) = \ln(1) + 1 = 0 + 1 = 1$$ 3. Sustituimos en la fórmula: $$y - 0 = 1(x - 1) \implies y = x - 1$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto coincide con el valor de la derivada en la abscisa de dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = x - 1}$$

**(d) Calcule una primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = x \ln(x)$. (1,5 puntos)** Utilizamos el método de **integración por partes**: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Elegimos las partes según la regla ALPES: - $u = \ln(x) \implies du = \frac{1}{x} dx$ - $dv = x \, dx \implies v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}$ Aplicamos la fórmula: $$F(x) = \int x \ln(x) dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx$$ $$F(x) = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \int x \, dx$$ $$F(x) = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} \right) + C$$ $$F(x) = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C$$ Podemos sacar factor común: $$F(x) = \frac{x^2}{2} \left( \ln(x) - \frac{1}{2} \right) + C$$ 💡 **Tip:** En integrales con logaritmos y polinomios, suele ser más sencillo elegir el logaritmo como $u$ para que al derivar se convierta en una fracción algebraica. ✅ **Resultado:** $$\boxed{F(x) = \dfrac{x^2}{2} \ln(x) - \dfrac{x^2}{4} + C}$$