Posición relativa y distancia entre dos rectas

**(a) Estudie la posición relativa de dichas rectas. (1 punto)** Primero, extraemos un punto $P_r$ y el vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$, que viene dada en su forma continua: $$r: \frac{x-3}{3} = \frac{y-5}{-1} = \frac{z-2}{4}$$ Directamente de los denominadores y los términos que restan a las variables: - Punto de $r$: $P_r(3, 5, 2)$ - Vector director de $r$: $\vec{v}_r = (3, -1, 4)$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{u_1}=\frac{y-y_0}{u_2}=\frac{z-z_0}{u_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(u_1, u_2, u_3)$.

La recta $s$ viene dada como intersección de dos planos (forma implícita). Su vector director $\vec{v}_s$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de ambos planos: $$\vec{n}_1 = (1, -1, -1), \quad \vec{n}_2 = (2, 2, -1)$$ Calculamos el determinante para el producto vectorial: $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_s = ((-1) \cdot (-1))\vec{i} + ((-1) \cdot 2)\vec{j} + (1 \cdot 2)\vec{k} - ((-1) \cdot 2)\vec{i} - ((-1) \cdot 1)\vec{j} - ((-1) \cdot 2)\vec{k}$$ $$\vec{v}_s = 1\vec{i} - 2\vec{j} + 2\vec{k} + 2\vec{i} + 1\vec{j} + 2\vec{k} = (3, -1, 4)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta en implícitas es perpendicular a los vectores normales de los planos que la definen. $$\boxed{\vec{v}_s = (3, -1, 4)}$$

Comparamos los vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$: $$\vec{v}_r = (3, -1, 4), \quad \vec{v}_s = (3, -1, 4)$$ Como los vectores son iguales (proporcionales con constante $k=1$), las rectas son **paralelas o coincidentes**. Para distinguir ambos casos, comprobamos si el punto $P_r(3, 5, 2)$ pertenece a la recta $s$ sustituyendo sus coordenadas en las ecuaciones de $s$: $$\begin{cases} 3 - 5 - 2 = 2 \implies -4 = 2 \quad \text{(Falso)} \\ 2(3) + 2(5) - 2 = 4 \implies 14 = 4 \quad \text{(Falso)} \end{cases}$$ Como el punto $P_r$ no satisface las ecuaciones de $s$, las rectas no tienen puntos en común. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ son paralelas}}$$

**(b) Halle la distancia entre ambas rectas. (1,5 puntos)** Dado que las rectas son paralelas, la distancia entre ellas es igual a la distancia de un punto de una de ellas a la otra recta: $$d(r, s) = d(P_r, s) = \frac{|\vec{P_s P_r} \times \vec{v}_s|}{|\vec{v}_s|}$$ Necesitamos un punto $P_s$ de la recta $s$. Damos un valor arbitrario a una variable, por ejemplo $z = 0$: $$\begin{cases} x - y = 2 \\ 2x + 2y = 4 \end{cases} \implies \begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 2 \end{cases}$$ Sumando ambas ecuaciones: $2x = 4 \implies x = 2$. Sustituyendo $x=2$: $2 + y = 2 \implies y = 0$. Obtenemos el punto $P_s(2, 0, 0)$. Calculamos el vector $\vec{P_s P_r}$: $$\vec{P_s P_r} = (3 - 2, 5 - 0, 2 - 0) = (1, 5, 2)$$ 💡 **Tip:** Para hallar la distancia entre rectas paralelas, basta con tomar un punto de una y aplicar la fórmula de distancia de punto a recta.

Calculamos el producto vectorial $\vec{P_s P_r} \times \vec{v}_s$: $$\vec{P_s P_r} \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 5 & 2 \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{P_s P_r} \times \vec{v}_s = (20)\vec{i} + (6)\vec{j} + (-1)\vec{k} - (15)\vec{k} - (-2)\vec{i} - (4)\vec{j}$$ $$\vec{P_s P_r} \times \vec{v}_s = (20+2)\vec{i} + (6-4)\vec{j} + (-1-15)\vec{k} = (22, 2, -16)$$ Ahora hallamos los módulos necesarios: - $|\vec{P_s P_r} \times \vec{v}_s| = \sqrt{22^2 + 2^2 + (-16)^2} = \sqrt{484 + 4 + 256} = \sqrt{744}$ - $|\vec{v}_s| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26}$

Aplicamos la fórmula final: $$d(r, s) = \frac{\sqrt{744}}{\sqrt{26}} = \sqrt{\frac{744}{26}}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 2: $$d(r, s) = \sqrt{\frac{372}{13}} \approx 5.35 \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las unidades de distancia en geometría analítica se suelen expresar de forma exacta o con decimales indicando "u" o "unidades". ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = \sqrt{\frac{372}{13}} \text{ u}}$$